Transformada de Laplace - Conceptos Básicos

Transformada de Laplace - Conceptos Básicos

 Definición:

Sea f (t) una función de t definida para t > 0. La Transformada de Laplace de f(t) se define como:

L { f (t) } = F(s) = ∫ e-st f(t)dt

 Algunas Propiedades de la Transformada de Laplace:

1. Suma y Resta

Sean F1(s) y F2(s) las transformadas de Laplace de f1(t) y f2(t) respectivamente. Entonces:

L { f1(t)  f2(t) } = F1(s)  F2(s)

2. Multiplicación por una constante

Sea k una constante y F(s) la transformada de Laplace de f(t). Entonces:

L { kf(t)} = kF(s)

3. Diferenciación

Sea F(s) la transformada de Laplace de f(t), y f(0) es el límite de f(t) cuando t tiende a cero. La Transformada de Laplace de la derivada con respecto al tiempo de f(t) es:

L { df(t)/dt} = sF(s) - lím f(t) = sF(s) - f(0)

En general, para las derivadas de orden superior de f(t):

L { dnf(t)/dtn} = sn F(s) - sn-1 f(0) - sn-2 f(1)(0) - ..... - f (n-1)(0).

4. Teorema del Valor Inicial

Si la Transformada de Laplace de f(t) es F(s), entonces:

Lím f(t) = Lím s F(s)

si el límite existe.

 Transformadas de Laplace de algunas Funciones Elementales:

f(t) L {f(t)} = F(s)

1 K k/s

2 t 1/s2

3 tn n!/sn+1

4 eat 1/ s-a

5 sen at a/ s2 + a2

6 cos at s/ s2 + a2

7 senh at a/ s2 - a2

8 cosh at s/ s2 - a2

 Ejercicio Resuelto:

Hallar la Transformada de Laplace de la siguiente f(t) por medio del uso de tabla:

f(t) = 3 e -4t + 1/2 cos 5t + 3/4 t3 + 8

Aplico Transformada de Laplace:

L {f(t)} = L { 3 e -4t + 1/2 cos 5t + 3/4 t3 + 8 } (1)

Ya que la Transformada de Laplace de una suma es igual a la suma de las Transformadas de Laplace de cada término, (1) se puede expresar como:

L {f(t)} = L { 3 e - 4t } + L { 1/2 cos 5t } + L { 3/4 t3 } + L { 8 } (2)

Ahora sólo queda reemplazar cada término de (2) por su correspondiente Transformada expresada en la tabla, y aplicar las propiedades:

L {f(t)} = F(s) = 3*( 1/s+4 ) + 1/2*( s/s2 + 25 ) + 3/4*( 3! / s4 ) + 8/s

por lo tanto:

F(s) = 3/s+4 + s / 2*( s2 + 25) + 9/2 t - 4 + 8/s

Transformada Inversa de Laplace - Conceptos Básicos

 Definición:

Sea F(s) la Transformada de Laplace de una función f (t). La Transformada Inversa de Laplace (o Antitransformada) de F(s) se denota:

L-1 { F(s)} = f(t)

 Método para hallar la Antitransformada de Laplace:

Existen varios métodos para determinar la antitransformada de Laplace; en este apunte se explicará el Método de las Fracciones Parciales.

Cualquier función racional de la forma P(s) / Q(s), donde P(s) y Q(s) son polinomios en los cuales el grado de P(s) es menor que el de Q(s), puede escribirse como una suma de fracciones parciales de la forma A / (as + b)r , donde A es una constante y r = 1,2,3 .... Al hallar las antitransformadas de cada fracción parcial, se halla L-1 { P(s)/ Q(s)}.

 Ejercicio resuelto : Hallar L-1 { (3s + 7) / (s2 - 2s - 3)}

Como se ve, es de la forma L-1 { P(s)/ Q(s)},

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