La Transformada de Laplace

Introducción

Vamos a desarrollar un tema sobre la Transformada de Laplace y su aplicación a la resolución

de ecuaciones y sistemas de ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes.

Estas ecuaciones surgen de manera natural en el contexto de los circuitos eléctricos.

Consideremos por ejemplo el típico circuito LRC de la figura

donde la inductancia L, la resistencia R y la capacidad de condensador C se consideran

constantes. Se tiene entonces que la carga q(t) que circula por el circuito está dada por la

ecuación

Lq00(t) + Rq0(t) + q(t)/C = V (t),

y dado que la intensidad I(t) es la derivada de la carga, ésta puede calcularse por la ecuación

LI0(t) + RI(t) +

Z t

0

I(s)ds/C = V (t),

o equivalentemente con la ecuación diferencial

LI00(t) + RI0(t) + I(t)/C = V 0(t),

en el caso en que V (t) sea una función derivable.

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Introducción

De forma similar, si tenemos un circuito con varias ramas y más elementos, como por

ejemplo

podemos deducir a partir de las leyes de Kirchoff que las intensidades que circulan por los

hilos eléctricos del circuito vienen dadas por

⎧⎪⎨

⎪⎩

0 = I1 − I2 − I3,

V 0(t) = I01

R1 + I1/C1 + I02

R2,

0 = −I02

R2 + I00 3L + I3/C2,

Si suponemos los elementos del circuito constantes, salvo a lo mejor el voltaje V (t), que

supondremos una función derivable, tenemos un sistema de ecuaciones diferenciales lineales

con coeficientes constantes.

La Transformada de Laplace es una herramienta que permite transformar los problemas

anteriores en problemas algebraicos y, una vez resuelto este problema algebraico más fácil

a priori de resolver, calcular a partir de la solución del problema algebraico la solución del

problema de ecuaciones diferenciales.

Esta es la forma en que los ingenieros abordan el estudio de estos problemas, como pone

de manifiesto las referencias [Oga1], [Sen] o [Jam]. Además este método es explicado en

algunos libros de ecuaciones diferenciales como [BoPr], [Bra], [Jef] o [MCZ].

Sin embargo, para entender en su justa dimensión la Transformada de Laplace hay que

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Introducción

dominar contenidos básicos de variable compleja que nuestros alumnos ya han estudiado durante

el curso (ver por ejemplo [Mur]). Así, vamos a presentar la Transformada de Laplace

en un primer lugar usando los conocimientos que el alumno tiene de funciones de variable

compleja y una vez explicada ésta, procederemos a indicar algunas aplicaciones a las ecuaciones

y sistemas citadas anteriormente. Nuestros alumnos también deben conocer y dominar

contenidos relativos

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