Transformada De Laplace

Matemática IV

Números Complejos

Sea

Forma binómica

donde

(conjugado de )

Forma trigonométrica

donde (módulo de )

Forma exponencial

Argumento de un número complejo

(argumento principal)

Fórmula de Euler

Fórmula de De Moivre

Igualdad de números complejos

Raíces n-ésimas

Funciones de Variable Compleja

Límites

Si es y ,

Derivadas

es holomorfa en es derivable en y en un entorno de

Condiciones de Cauchy-Riemann

Sea

Si en , (de no ser así la condición es sólo necesaria)

existe en

y

En coordenadas polares, si ,

existe en

Funciones Armónicas

es armónica

son conjugadas armónicas

Si es tal que son conjugadas armónicas es holomorfa

Funciones usuales con

(logaritmo principal)

Integrales

Sea la parametrización compleja de la curva .

da la circulación de a través de

da el flujo de a través de

Si es una primitiva de , y une los puntos y

Toda función holomorfa en un conjunto simplemente conexo tiene primitiva.

Teorema de Cauchy

Sea es simplemente conexo.

cerrada.

Para regiones más generales, si y la región es de orden de conexión ,

Fórmula de la integral de Cauchy

Sea , limita una región simplemente conexa y

Fórmula de las derivadas de Cauchy

Acotación de integrales

longitud de la curva ,

Series de Potencias

Teorema de Taylor

Sea abierto,

Si es holomorfa en un disco , admite el desarrollo en serie de Taylor en el campo de convergencia ( radio de convergencia).

, donde para

Si admite un desarrollo en serie de potencias en un entorno de , es analítica.

Toda función holomorfa es analítica.

Desarrollos en Serie de Taylor usuales en

Teorema de Laurent

Sea abierto,

Si es holomorfa en una corona circular , admite el desarrollo en serie de Laurent en el campo de convergencia

, donde para

Residuos

Singularidades

es punto singular (PS) de si en .

Si en , es punto singular aislado (PSA)

Singularidad Evitable

PSA de es punto de singularidad evitable (PSEv) si el desarrollo en serie de potencias válido en no tiene potencias

...