Aplicación Transformada De LaPlace

INTRODUCCIÓN

La capacidad de obtener aproximaciones lineales de sistemas físicos nos permite considerar el uso de la transformación de Laplace. El método de la transformada de Laplace sustituye por ecuaciones algebraicas de resolución relativamente fácil las ecuaciones diferenciales, más difíciles. La solución para la respuesta temporal se obtiene mediante las siguientes operaciones:

1.- Obtener las ecuaciones diferenciales.

2.- Obtener la transformación de Laplace de las ecuaciones diferenciales

3.- Resolver la transformada algebraica resultante para la variable de interés.

La transformada de Laplace existe para ecuaciones diferenciales lineales para las que la transformación integral converge.

Las integrales de transformación se han usado para deducir tablas de Laplace que se suelen emplear para la gran mayoría de los problemas.

La relación de la física con las matemáticas es impresionante ya que estas dos en conjunto nos pueden ayudar a entender de una manera más simple el funcionamiento de muchas cosas, como lo será en este caso el funcionamiento de una suspensión de un vehículo.

AREA DE CONOCIMIENTO

FISICA-MECANICA

La física mecánica estudia el movimiento de los cuerpos.

Se divide en cinemática, estática y dinámica

La cinemática estudia el movimiento de los cuerpos sin considerar la causa que produce el movimiento.

La dinámica estudia el movimiento de los cuerpos considerando la causa que estudia el movimiento.

La estática estudia el equilibrio de los cuerpos

Cinemática se divide en movimiento unidimensional y bidimensional.

En el primero se estudia el movimiento rectilíneo uniforme (MRU) y movimiento rectilíneo uniforme acelerado (MRUA) En el segundo, también se conoce como movimiento en el plano y se estudia el movimiento de proyectiles

Dinámica hace referencia al estudia de las leyes de Newton, las cuales son tres, la primera ley establece que todo cuerpo tiende a establecer su estado de reposo o movimiento rectilíneo uniforme en ausencia de fuerzas externas. La segunda ley se conoce como ley de causa y efecto y dice que la sumatoria de fuerzas o fuerza neta es igual a la rapidez de cambio del momento lineal. La tercera ley es la de acción y reacción que establece que toda acción tiene una reacción de igual magnitud pero en sentido opuesto.

La estática tiene que ver con el equilibrio de los cuerpos, los cuales deben cumplir dos condiciones; la primera se llama equilibrio de traslación y establece que la sumatoria de fuerzas que actúa sobre un cuerpo debe ser igual a cero y la segunda condición establece que la sumatoria de torques respecto a un punto debe ser igual a cero.

LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

La transformada de Laplace es una herramienta de gran alcance formulada para solucionar una variedad amplia de problemas de la inicial-valor. La estrategia es transformar las ecuaciones diferenciales difíciles en los problemas simples del álgebra donde las soluciones pueden ser obtenidas fácilmente. Entonces se aplica La transformada inversa de Laplace para recuperar las soluciones de los problemas originales.

Es un procedimiento desarrollado por el matemático y astrónomo francés Pierre Simón Marques de Laplace (1749 - 1827) que permite cambiar funciones de la variable del tiempo t a una función de la variable complejas.

Las características fundamentales de la transformada de Laplace son:

Sirve para reemplazar operaciones como derivación e integración, por operaciones algebraicas en el plano complejo de la variable S.

Definimos:

F (t) = una función de tiempo t tal que f (t) = 0 para t > 0. Sea f (t) definida en (0, ¥). Se define la transformada de Laplace de f (t), como la función [f (t)] = F(s), definida por la integral.

s = una variable compleja. El parámetro s se considerará real. Es esto suficiente para las aplicaciones con ecuaciones diferenciales lineales de coeficientes constantes y algunas de coeficientes variables. En otros casos es necesario trabajar en el campo complejo, considerando a s como complejo.

L = un símbolo operacional que indica que la cantidad a la que precede debe transformarse por la integral de Laplace

La transformada de Laplace es al tiempo continuo lo que la transformada de es al discreto Cuando se habla de la transformada de Laplace, generalmente se refiere a la versión unilateral. También existe la transformada de Laplace bilateral, que se define como sigue:

La transformada de Laplace F(s) típicamente existe para todos los números reales s > a, donde a es una constante que depende del comportamiento de crecimiento de f (t).

Transformadas de Algunas Funciones Básicas

Función Transformada de Laplace

Transformada Inversa de Laplace

En matemática, la transformada inversa de Laplace de una función F(s) es la función f (t) que cumple con la propiedad

Donde es la transformada de Laplace

La transformada de Laplace junto con la transformada inversa de Laplace tiene un número de propiedades que las hacen útiles para el análisis de sistemas dinámicos lineales.

Forma integral

Una fórmula integral para la transformada inversa de Laplace, llamada integral de Bromwich, integral de Fourier-Mellin o fórmula inversa de Mellin, es dada por la integral lineal:

CONCEPTOS

Amortiguador

El amortiguador es un dispositivo que atenúa las oscilaciones de un vehículo al forzar el paso de aceite a través de un sistema de válvulas de magnitud pequeña.

Sirve para controlar el movimiento del vehículo y mantener las llantas adheridas al piso.

Resorte

Con origen en el francés ressort, la palabra resorte describe a un operador de características elásticas que puede conservar y liberar energía sin experimentar deformaciones permanentes cuando la fuerza ejercida sobre él termina. Los resortes poseen múltiples usos, en todas las situaciones en las que es necesario aplicar una determinada fuerza y que ésta luego sea retornada en forma de energía (suspensiones de vehículos, cables de conexión, etc.).

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