Transformadas De Laplace

MATEMÁTICAS AVANZADAS II

TRANSFORMADA DE LAPLACE

FUNCIONES DE TRANSFERENCIA

SIMULACIÓN

MÉTODO NEWTON-RAPHSON

MIÉRCOLES, 09 DE ABRIL DE 2014

OBJETIVO

Aplicar la Transformada de Laplace para resolver ecuaciones diferenciales que representan una parte importante en el desarrollo de procesos productivos.

ALCANCE

Desarrollar la competencia de autonomía mediante el uso del paquete matemático computacional así como un simulador que se encuentra presente en el paquete computacional, para el aprendizaje de Matemáticas Avanzada II

ÍNDICE

1. TRANSFORMADA DE LAPLACE 1

2. FUNCIONES DE TRANSFERENCIA 6

3. SIMULACIONES 11

4. MÉTODO NEWTON-RAPHSON 18

5. CONCLUSIONES 21

6. OBSERVACIONES 21

TRANSFORMADA DE LAPLACE

Sea f(t) una función definida para t ≥ 0, su trasformada de Laplace se define como:

L{f(t)}=F(s)=∫_0^∞▒〖f(t) e^(-st ) dt〗

donde s es una variable compleja s=s_1+is_2.

Se dice que la transformada de Laplace de f(t) existe si la integral converge.

Pierre-Simón Laplace (1749 - 1827)

“Podemos mirar el estado presente del universo como el efecto del pasado y la causa de su futuro. Se podría condensar un intelecto que en cualquier momento dado sabría todas las fuerzas que animan la naturaleza y las posiciones de los seres que la componen, si este intelecto fuera lo suficientemente vasto para someter los datos al análisis, podría condensar en una simple fórmula el movimiento de los grandes cuerpos del universo y del átomo más ligero; para tal intelecto nada podría ser incierto y el futuro así como el pasado estarían frente sus ojos.”

Observa que la transformada de Laplace es una integral impropia, uno de sus límites es infinito:

∫_0^∞▒〖e^(-s.t) f(t)dt〗=〖lim〗_(h→∞) ∫_0^h▒〖e^(-s.t ) f(t)dt〗

Notación:

L{f(t)}=F(s)

L{y(t)}=Y(s)

L{x(t)}=X(s), etc.

Nota El parámetro s se considerará aquí real. Es esto suficiente para las aplicaciones con ecuaciones diferenciales lineales de coeficientes constantes y algunas de coeficientes variables.

En otros casos es necesario trabajar en el campo complejo, considerando a s como complejo.

Ejemplo1: Sea f(t) = 1, t ≥ 0

L[1]=∫_0^∞▒〖e^(-st )∙ 1 ∙dt〗=lim┬(h→∞)⁡∫_0^h▒e^(-st) dt= lim┬(h→∞) [-e^(-st)/s] h¦0=lim┬(h→∞)⁡[1/s-e^(-sh)/s] →

L[1]=1/s ,s > 0 pues la integral diverge para s ≤ 0

Nota Si fuese complejo s, es decir, s=s_1+is_2 entonces e^(-st)= e^(-(s_1+is_2 )t)=e^(-s_1 t) (cos⁡〖s_2 t-isen s_2 t〗) y la integral impropia anterior sólo converge si s_1>0, es decir Re (s) > 0.

Ejemplo2: Sea f(t) = e^at, t ≥ 0

L =[e^at ]=∫_0^∞▒〖e^(-st )∙e^at∙dt=∫_0^∞▒〖e^(-(s-a)t ) dt〗〗. Es el caso anterior cambiando s por s – a

Luego:

L =[e^at ]=1/(s-a),s>a

Ejemplo 3: Sea f(t) = t^a, a ϵ R, t ≥ 0

L[t^a ]=∫_0^∞▒〖e^(-st)∙t^a∙dt.〗 Cambio: st = x. Entonces t=x/s, dt=dx/s y

L[t^a ]=1/s^(a+1) ∫_0^∞▒e^(-x) ∙x^a∙dx Luego:

L[t^a ]=(Γ(a+1))/s^(a+1) si s>0 a>-1

En particular:

L[t^n ]=n!/s^(n+1) s>0 n ϵ N L[t]=1/s^2 s>0 L[1]=1/s s>0

Ejemplo 4: Sea f(t) = cos at ó f(t) = sin at t ≥ 0

L[cos at]=∫_0^∞▒〖e^(-st)∙cos⁡〖at∙dt=Integrando dos veces por partes〗 〗 →

L[cos at]=s/(s^2+a^2 ) ,s>0. Análogamente: L[sin at]=a/(s^2+a^2 ) ,s>0

Podría obtenerse mejor así: Trabajando como en los ejemplos 1 y 2, sustituyendo a por ai (a ϵ R) , resulta:

L[e^iat ]=1/(s-ai),para Re (s-ia)>0,es decir s>0 si s es real

Por tanto: L[e^iat ]=(s+ai)/(s^2+a^2 ), s>0

Luego {█(L[cosat]=L[Re(e^iat)]=Re (s+ai)/(s^2+a^2 )=s/(s^2+a^2 ) ,s>0@L[sin⁡at ]=L[Im(e^iat)]=Im (s+ai)/(s^2+a^2 )=a/(s^2+a^2 ) ,s>0)┤

EXISTENCIA DE LA TRANSFORMADA En los ejemplos anteriores se ha visto por cálculo directo que la integral [1] existe realmente para las funciones consideradas, en algún intervalo de valores de s. Pero eso no ocurre así siempre. Por ejemplo, la integral impropia de [1] no converge para ningún valor de s si f(t)=1/(t ) ó f(t)=e^(t^2 ), por crecer estas funciones demasiado rápido cuando t → 0+ o t →∞ respectivamente. Afortunadamente existe la transformada para la mayor parte de las funciones que aparecen en aplicaciones donde intervienen ecuaciones diferenciales lineales.

TABLA DE TRANSFORMADAS DE LAPLACE

La transformada de Laplace es un método algebraico para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias lineales de coeficientes constantes.

Al aplicar la TdL a este tipo de ecuaciones diferenciales se obtienen funciones racionales en la variable compleja de Laplace ‘s’.

PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

Linealidad: L[αf_1 (t)+βf_2 (t)]=αF_1 (s)+βF_2 (s)

Traslación en el tiempo: L[f(t-t_d ) u_0 (t-t_d )]=e^(-tds) F(s)

u_0 (t)=Escalón unitario

Cambio de escala de tiempos: L[f(t/α)]=αF(αs)

Multiplicación por la función exponencial: L[e^(-αs) f(t)]=F(s+α)

Diferenciación en el dominio del tiempo: L[((d^n f(t))/〖dt〗^n )]=s^n F(s)- ∑_(k=0)^(n-1)▒〖s^(n-k-1) f^((n-1) (0) 〗

Integración en el dominio del tiempo: L[∫_0^t▒f(t)dt]=(F(s))/s

Diferenciación en el dominio de la frecuencia: L[t^n f(t)]=(-1)^n (d^n F(s))/〖ds〗^n

Integración en el dominio de la frecuencia: L[1/t f(t)]=∫_s^∞▒F(s)ds

FUNCIONES DE TRANSFERENCIA

Teoremas de valor inicial y valor final

Teorema del valor inicial f(0^+ )= lim┬(s→∞)⁡〖F(s)〗

Teorema del valor final lim┬(t→∞)⁡〖f(t)〗=lim┬(s→0)⁡〖s F(s)〗

Aplicación a una ecuación diferencial

Dada una ecuación diferencial lineal de coeficientes constantes, como por ejemplo:

m (d^2 x(t))/〖dt〗^2 +b (dx(t))/dt+kx(t)=f(t)

Aplicando la transformada de Laplace a ambos lados de la ecuación y teniendo en cuenta la propiedad de diferenciación

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