TRANSFORMADA DE LAPLACE

TRANSFORMADA DE LAPLACE

El método de la transformada de Laplace es un método operacional que puede usarse para resolver ecuaciones diferenciales lineales, ya que su uso hace posible que diversas funciones sinusoidales, sinusoidales amortiguadas y exponenciales, se puedan convertir en funciones algebraicas de una variable compleja , y reemplazar operaciones como la diferenciación y la integración, por operaciones algebraicas en de funciones compleja equivalentes. Por tanto, una ecuación diferencial lineal se puede transformar en una ecuación algebraica de la variable compleja. Si esa ecuación algebraica se resuelve en para la variable dependiente, se obtiene la solución de la ecuación diferencial. Este procedimiento que implica la transformada inversa de Laplace de la variable dependiente, se realiza empleando una tabla de transformadas de Laplace, o mediante la técnica de expansión en fracciones parciales.

Es característico del método de la Transformada de Laplace, el uso de técnicas gráficas para predecir y/o analizar el funcionamiento de un sistema sin tener que resolver el sus ecuaciones diferenciales. Otra ventaja es que con este método se resuelve la ecuación diferencial obteniendo, simultáneamente, las componentes del estado transitorio y estacionario de la solución.

VARIABLE COMPLEJA

La variable es de tipo complejo con una componente variable real y una imaginaria: La notación empleada para se indica en la siguiente ecuación:

Donde es la parte real y es la parte imaginaria.

FUNCIÓN COMPLEJA F(s)

Una función compleja, tiene una parte real y una imaginaria:

• Donde y son cantidades reales.

• El ángulo se mide de derecha a izquierda a partir del semieje real positivo. El complejo conjugado de es

• Se dice que una función compleja es analítica en una región, si y todas sus derivadas existen en esa región.

Los puntos del plano en los que la función es analítica, reciben el nombre de puntos ordinarios, mientras que los puntos del plano en los que la función no es analítica, se denominan puntos singulares. A dichos puntos también se les denomina polos. Los puntos en los que la función es igual a cero, se denominan ceros

TRANSFORMADA DE LAPLACE

Primero se presenta una definición de la Transformada de Laplace; y un breve análisis de las condiciones de existencia de la transformada de Laplace.

Definimos:

Una función de tiempo tal que para una variable compleja transformada de Laplace de un símbolo operacional que indica que la cantidad a la que precede debe transformarse por la integral de Laplace.

Entonces la transformada de Laplace de está dada por

El proceso

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