TRANSFORMADA DE LAPLACE

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA UNIDAD ZACATENCO

TRANSFORMADA DE LAPLACE

Teoremas, Propiedades, Solución De Ecuaciones Diferenciales Y Aplicaciones

Por: Gutiérrez Flores Ángel Joacim Salón: 2SM1

DICIEMBRE DE 2012

Índice

TRANSFORMADA DE LAPLACE 3

TEOREMAS Y PROPIEDADES 4

Transformación De Problemas Con Condiciones Iniciales. 5

Traslación Y Fracciones Parciales. 6

Derivadas, Integrales Y Productos De Transformadas. 7

SOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES 8

APLICACIONES 18

BIBLIOGRAFÍA 29

TRANSFORMADA DE LAPLACE

Entre los instrumentos que resultan muy útiles al resolver ecuaciones diferenciales lineales se encuentran las transformadas integrales. Una transformada integral es una relación de la forma:

F(s)= ∫_α^β▒K(s,t)f(t) dt

En donde una función dada f se transforma en otra función F por medio de una integral. Se dice que la función F es la transformada de f y la función K (Kernel) de la transformada.

El objetivo de la trasformada de Laplace es aplicar la relación de una función K en una función f que resulte más sencilla.

Cuando se hace una relación apropiada del Kernel y de los límites de integración se puede simplificar de manera sustancial un problema que incluya una ecuación diferencial.

Con un lenguaje matemático, la transformada de Laplace se puede definir como:

Sea f(t) dada para t≥0 y supóngase que f satisface ciertas condiciones, entonces la transformada de Laplace de f se denotará como:

L {f(t)}= F(s)= ∫_0^∞▒e^(-st) f(t)dt

Para todos los valores de s para los cuales la integral impropia converja.

Nota: aquí se puede notar como el Kernel es: K(s,t)= e^(-st)

TEOREMAS Y PROPIEDADES

Si F(s)= L {f(t)} existe para s>a≥0 y si c es una constante positiva, entonces: L{ Uc(t)f(t-c)}= e^(-cs) L{f(t)}= e^(-cs) F(s) cuando s>a.

A la inversa, si f(t)= L^(-1) {F(s)}, entonces: Uc(t)f(t-c)=〖L^(-1) {e〗^(-cs) F(s)}

Supónganse que:

f es seccionalmente continua sobre el intervalo 0≤t≤A para cualquier A positiva.

|f(t)|≤Ke^at cuanto t≥M. entonces la desigualdad, K, a y M son constantes reales, K y M necesariamente positivas.

Entonces la transformada de Laplace L {f(t)}= F(s) exista para s>a.

Un ejemplo para poder mostrar este teorema es:

∫_0^∞▒〖e^(-st) f(t) 〗 dt= ∫_0^M▒〖e^(-st) f(t) 〗 dt+ ∫_M^∞▒〖e^(-st) f(t) 〗 dt

Por lo tanto F(s) existe siempre que ∫_M^∞▒e^((a-s)t) dt converja.

Si f es seccionalmente continua para t≥a, s|f(t)|≤g(t)i cuando t≥M para alguna constante positiva M y si ∫_M^∞▒g(t) dt converge, entonces ∫_a^∞▒f(t) dt también converge.

Por otra parte, si f(t)≥g(t)≥0 para t≥M y si ∫_M^∞▒g(t) dt diverge, entonces ∫_a^∞▒f(t) dt diverge.

Si F(s)= L {f(t)} existe para s>a≥0 y si c es una constante, entonces: L {e^ct f(t)}= f(s-c) para s>a,t,c

A la inversa, si f(t)= L^(-1) {F(s)}, entonces: e^ct f(t)= L^(-1) {F(s-c)}

Transformación De Problemas Con Condiciones Iniciales.

Transformadas De Derivadas.

Supóngase que f es continua y que f' es seccionalmente continua sobre cualquier intervalo 0≤t≤A. Supóngase además que existen las constantes K, a y M tales que |f(t)|≤Ke^at para t≥M. Entonces, L {f(t)} existe para s>a y además L {f'(t)}=s L {f(t)}- f(0).

La idea principal de la demostración de este teorema se expone mejor a partir del caso en el que f'(t) es continua para t>0. Entonces, comenzando con la definición de L {f'(t)} e integrando por partes, obtenemos L {f'(t)}= ∫_0^x▒〖e^(-st) f^' (t)dt=[e^(-st) 〗 f(t)]+s∫_0^x▒〖e^(-st) f(t)dt〗.

Transformadas De Derivadas De Orden Superior.

Supóngase que las funciones f,f^',f^'',…,f^((n-1))son continuas y suaves por partes para t>0. Entonces L {f^n (t)} existe cuando s>a, y

L {f^n (t)}=s^n L {f(t)}- s^((n-1) ) f(0)- s^((n-2) ) f^' (0)- … -f^((n-1)) (0)

=s^n F(s)- s^((n-1) ) f(0)- 〖… - sf〗^((n-2) ) (0) -f^((n-1)) (0)

Transformadas De Integrales.

Si f(t)es una función continua por partes para t>0 y satisface la condición de orden exponencial |f(t)|≤Ke^at para t≥M, entonces

L{∫_0^1▒〖f(〗 t)dt}= 1/s L{f(t)}= (F(s))/s

Para s>a. En forma equivalente, L^(-1) {F(s)/s}= ∫_0^1▒〖F(t)dt〗

Traslación Y Fracciones Parciales.

Factor Lineal En Fracciones Parciales.

La parte de una descomposición en fracciones parciales de R(s) correspondiente al factor lineal s-a de multiplicidad n es la suma de n fracciones parciales que tienen la forma

A_1/(s-a)+ A_2/〖(s-a)〗^2 + A_n/〖(s-a)〗^n

En donde A_1,A_2,…,A_n son constantes.

Factor Cuadrático En Fracciones Parciales.

La parte de la descomposición en fracciones parciales correspondiente al factor cuadrático irreducible 〖(s-a)〗^2+ b^2 de multiplicidad n fracciones parciales que tienen la forma

(〖sA〗_1+B_1)/(〖(s-a)〗^2+b^2 )+⋯+ (〖sA〗_n+B_n)/〖[(s-a)^2+b^2]〗^n

En donde A_1,A_2,…,A_n , B_1,B_2,…,y B_n son constantes.

Traslación Del Eje s.

Si F(s)= L {f(t)} existe para s>c, entonces L {e^at f(t)} existe para s>a+c, y L {e^at f(t)}= F(s-a).

En forma equivalente, L^(-1) {F(s-a)}=e^at f(t).

Así pues, la traslación s→s-a de la transformada correspondiente a la multiplicación de la función original de t por e^at.

Derivadas, Integrales Y Productos De Transformadas.

La transformada de Laplace de la solución (inicialmente desconocida)

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