Transformada de Laplace

Transformada de Laplace

La Transformada de Laplace es un método operacional que puede utilizarse para resolver ecuaciones diferenciales lineales.

•Transforma ecuaciones diferenciales en ecuaciones algebraicas de una variable compleja.

Si la ecuación algebraica se resuelve en s, se puede encontrar la solución de la ecuación diferencial (Transformada inversa de Laplace) utilizando una tabla de transformadas, o bien mediante la técnica de expansión en fracciones parciales.

Definición

Dada una función f(t), que depende de la variable independiente tiempo (t),

su transformada de Laplace se define mediante la expresión

F(s) = L{f(t)} =∫_0^∞▒〖f(t)〗 e^(-s) tdt

La transformada de Laplace convierte un problema en el dominio del tiempo en un problema equivalente en el dominio de la frecuencia.

La integral es impropia ya que el límite superior de integración es ∞.

En consecuencia, la integral puede no converger.

Sin embargo, en análisis de circuitos se hace referencia únicamente a funciones que hacen que la integral converja, con lo que tienen transformada de Laplace.

La transformada de Laplace

Concepto e interés práctico

Es una herramienta que transforma un problema en el dominio del tiempo en un problema en el dominio de la frecuencia (el fasor convierte una señal sinusoidal en un número complejo).

Aplicaciones:

Análisis del régimen transitorio en circuitos descritos por más de dos ecuaciones diferenciales.

Análisis del régimen transitorio en circuitos sometidos a excitaciones distintas de simples saltos de nivel.

Introducción del concepto de función de transferencia para analizar la respuesta en frecuencia de un circuito sometido a excitación sinusoidal.

Relacionar el comportamiento de un circuito en el dominio del tiempo con su comportamiento en el dominio de la frecuencia.

Ejemplo 1 de cálculo de transformada de Laplace

Se desea obtener la transformada de Laplace de la función y(t)= t^2 e^(-at)

con n = 2 y f(t) =e^(-at)⇒ F(s) =1/(s+a)

y(t) =t^n f(t) ⇒ Y(s) =〖(-1)〗^n (d^n F(s))/〖ds〗^n =2/〖(s+a)〗^3

Ejemplo en un circuito

Se desea obtener la transformada de Laplace correspondiente a v(t).

i G(t) = Kcos(ωt),K = 1.2 A,ω = 1 rad/s

R = 1 Ω,L = 1.6 H,C = 0.625 F

La única diferencia es que la transformada de Laplace correspondiente a la fuente es:

IG(s) = ( Ks)/(s2 + ω2)

Con lo que la ecuación pasa a ser:

( Ks)/(s2 + ω2)= V(s)=( 1/R+1/sL+Sc)

Despejando V(s) y utilizando los valores numéricos se obtienen:

V(s)= 1.92s2/(s2 + 1)(s2 + 1.6s + 1) Vs

Ejemplo: Sobre la propiedad de Linealidad

...