Transformada de Laplace.

[pic 1][pic 2]

[pic 3]

[pic 4]

INDICE

INTRODUCCIÓN        3

RESEÑA HISTORICA        4

DEFINICIÓN DE LA TRANSFORMADA        5

TRANSFORMADA DE LAPLACE DE LA FUNCIÓN ESCALÓN UNITARIO        5

TEOREMA TRANSFORMADA DE LA FUNCIÓN HEAVISIDE        8

TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE        9

CONCLUSIÓN        12

BIBLIOGRAFIA        13

INTRODUCCIÓN

     La matemática es una herramienta esencial que es utilizada por científicos, físicos, matemáticos, ingenieros y otras ciencias, ya que constituye un instrumento efectivo para la resolución de problemas de la ciencia e ingeniería. El cálculo operacional o también conocido como la teoría de las transformadas de Laplace(TL) permite efectuar cálculos que de otro modo resultarían tediosos e incluso irresolubles. Del mismo modo, TL permite resolver un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias lineales transformadas en Laplace, permitiendo que la solución sea manejada como un sistema algebraico de ecuaciones. En este tema se revisarán las definiciones de la transformada Laplace, propiedades, teoremas, la inversa de Laplace. Finalmente se extenderá el material asociado con el tema.

RESEÑA HISTORICA

 [pic 5]

      Pierre Simón De Laplace Nacido en Francia (17        49-1827). Fue un astrónomo, matemático y físico estudio en la Universidad de Caen. En 1785 es nombrado miembro de la Academia de Ciencias y en 1795, miembro de la cátedra de matemáticas del Nuevo Instituto de las Ciencias y las Artes.

     Sus principales campos de interés fueron la Mecánica Celeste, o movimiento planetario, la teoría de probabilidades, y el progreso personal.

     Una de las grandes contribuciones es la teoría analítica de las probabilidades publicada en 1812, Esta obra representa la introducción de los recursos del análisis matemático en el estudio de los fenómenos aleatorios. Su libro inicia con palabras "En el fondo, la teoría de probabilidades no es sino el sentido común reducido a cálculos", puede ser que sí, pero las 700 páginas que le siguen a esas palabras son un análisis intrincado, en el cual usa a discreción la transformada de Laplace, las funciones generatrices, y muchas otras técnicas no triviales.

     “Podemos mirar el estado presente del universo como el efecto del pasado y la causa del futuro.

     Se podría condensar un intelecto que en cualquier momento dado sabría todas las fuerzas que animan la naturaleza y las posiciones de los seres que la componen, si este intelecto fuera lo suficientemente vasto para someter los datos al análisis, podría condensar en una simple formula el movimiento de los grandes cuerpos del universo y del átomo mas ligero; para tal intelecto nada podría ser incierto y el futuro, así como el pasado estarían frente sus ojos”. Pierre De Laplace

DEFINICIÓN DE LA TRANSFORMADA

     Sea f una función definida para [pic 6], la transformada de Laplace de f(t) se define como
[pic 7]
cuando tal integral converge
Notas

1. La letra s representa una nueva variable, que para el proceso de integración se considera constante
2. La transformada de Laplace convierte una función en t en una función en la variable s 
3. Condiciones para la existencia de la transformada de una función:

1. De orden exponencial
2. Continua a trozos

TRANSFORMADA DE LAPLACE DE LA FUNCIÓN ESCALÓN UNITARIO

     En ingeniería es común encontrar funciones que corresponden a estados de sí o no, o bien activo o inactivo. Por ejemplo, una fuerza externa que actúa sobre un sistema mecánico o una tensión eléctrica aplicada a un circuito puede tener que suspenderse después de cierto tiempo. Para tratar de forma efectiva con estas funciones discontinuas conviene introducir una función especial llamada función escalón unitario.

 Ejemplo:
Trazar la gráfica de la función [pic 15].

Solución:
La función [pic 16]está dada por

[pic 17]

y su gráfica se muestra en la siguiente imagen:

[pic 18]

Cuando la función de Heaviside [pic 19]se multiplica por una función [pic 20], definida para [pic 21], ésta función se desactiva en el intervalo [pic 22], como muestra en siguiente ejemplo.

Ejemplo
Trazar la gráfica de la función [pic 23].

Solución
La función está dada por

[pic 24]

 [pic 25]

TEOREMA TRANSFORMADA DE LA FUNCIÓN HEAVISIDE

1. La transformada de la función de Heaviside es:

[pic 26]

     En el primer teorema de traslación nos permitía calcular la transformada de una función [pic 27]al ser multiplicada por una función exponencial [pic 28], el segundo teorema de traslación nos permitirá calcular la trasformada de una función [pic 29]que es multiplicada por una función escalón.

2. Teorema de traslación, si [pic 30]y [pic 31], entonces  [pic 32]

     Forma inversa del segundo teorema de traslación: [pic 33]

...