CAPÍTULO 3. LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

CAPÍTULO 3. LA TRANSFORMADA DE LAPLACE En cálculo diferencial e integral aprendimos que la derivación y la integración son transformadas; esto significa, a grandes rasgos, que estas operaciones transforman una función en otra. Por ejemplo, la función f (x) = x 2 se transforma, a su vez, en una función lineal y en una familia de funciones polinomiales cúbicas con las operaciones de derivación e integración: f ’ (x) = 2x y x dx = x + c ∫ 2 3 3 1 Además, estas dos transformadas tienen la propiedad de linealidad tal que la transformada de una combinación lineal de funciones es una combinación lineal de las transformadas. Para α y β constantes (α f (x) + β g (x))’ = α f ’ (x) + β g ’ (x) [ ( ) ( )] ( ) ( ) ∫ ∫ ∫ α f x + β g x dx = α f x dx + β g x dx siempre que cada derivada e integral exista. En este Capítulo se examina un tipo especial de transformada integral llamada transformada de Laplace. Además de tener la propiedad de linealidad, la transformada de Laplace tiene muchas otras propiedades interesantes que la hacen muy útil para resolver problemas lineales con valores iniciales. 3.1. TRANSFORMADAS INTEGRALES Entre los conceptos de gran utilidad en la resolución de ecuaciones diferenciales lineales están las transformadas integrales. Una transformada integral es una relación de la forma F (s) = ( ) ( ) ∫ b a K s, t f t d t (1) en donde una función dada f de la variable t se transforma en otra función F de la variable s por medio de una integral. Se dice que la función F es la transformada de f y la función K se llama kernel o núcleo de la transformación. La idea general es usar la relación (1) para transformar un problema para f en un problema más sencillo para F. Haciendo una selección apropiada del kernel K y de los límites de integración a y b, a menudo es posible simplificar radicalmente un problema que implique una ecuación diferencial lineal. Se usan varias transformaciones integrales, siendo cada una apropiada para ciertos tipos de problemas. Tenemos en particular interés en una transformada integral, donde el intervalo de integración es el intervalo no acotado [0, ∞). Si f (t) se define para t ≥ 0, entonces la integral impropia ( ) ( ) ∫ ∞ 0 K s, t f t d t se define como un límite 69 ( ) ( ) ∫ b a K s, t f t d t = ( ) ( ) ∫ → ∞ b b K s t f t dt 0 Lim , (2) Si existe el límite en (2), entonces se dice que la integral existe o es convergente, si no existe el límite, la integral no existe y es divergente. En general, el límite en (2) existirá sólo para ciertos valores de la variable s. 3.2. DEFINICIÓN DE TRANSFORMADA DE LAPLACE Se han desarrollado varios métodos para resolver ecuaciones diferenciales. Ahora se introducirá un tipo distinto de enfoque que es muy importante en muchas áreas de matemáticas aplicadas. La idea es usar una transformación que cambia un conjunto de objetos y operaciones en otro conjunto diferente de objetos y operaciones. En este capítulo se usará t en lugar de x para denotar el argumento, ya que, con frecuencia, esta transformación se usa para problemas de valor inicial en el tiempo t, definidos para t ≥ 0. Eligiendo K (s, t) = e – st como el núcleo en (2) se obtiene una transformada integral especialmente importante. DEFINICIÓN 3.2.1. TRANSFORMADA DE LAPLACE Sea f (t) una función definida para t ≥ 0. Entonces se dice que la integral { ( )} ( ) ∫ ∞ − = 0 f t e f t dt L st (3) es la transformada de Laplace de f, siempre que esta integral impropia converja. Cuando la integral de la definición (3) converge, el resultado es una función de s. En el análisis general se usa una letra minúscula para denotar la función que se transforma y la letra mayúscula correspondiente para denotar su transformada de Laplace, por ejemplo, L { f (t)} = F (s), L {g (t)} = G (s), L {y (t)} = Y (s) En general, el parámetro s puede ser complejo, pero aquí se considerarán solamente valores reales de s. La transformada de Laplace cambia una ecuación diferencial lineal con coeficientes constantes en un problema de álgebra. Muchos procedimientos de diseño en áreas tales como circuitos y teoría de control están basados en la forma algebraica del problema que proporciona la transformada de Laplace. La transformada de Laplace también es en especial adecuada para manejar impulsos y funciones de fuerza discontinua. Pero primero es necesario desarrollar las propiedades básicas de la transformada de Laplace.

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