Transformada de Laplace

UNIVERSIDAD DE GUAYAQUIL

[pic 1][pic 2]

FACULTAD DE INGENIERIA INDUSTRIAL

ECUACIONES DIFERENCIALES  

TEMA:

Transformada de Laplace

PERTENCIENTE A:

Julio Fernández Quimis

GRUPO # 1 SEMESTRE# 3

PERIODO LECTIVO

2021 - 2022

GUAYAQUIL – ECUADOR

DOCENTE

Ing. Ind. Melissa Rodríguez Merchán, Msc

Introducción

En esta investigación trataremos sobre la transformada de Laplace, estudiaremos la integral e inversa de la transformada, plantearemos ejemplos que nos ayuden a entender cada uno de los conceptos tratados en esta investigación. Con el objetivo de aprender de forma resumida el uso de la transformada y utilizarla cunado la necesitemos.  

Introducción a la trasformada de Laplace

La transformada de Laplace convierte cierto tipo de ecuaciones diferenciales en ecuaciones algebraicas. De este modo, cuando se resuelve la ecuación algebraica, queda también resuelta la ecuación diferencial correspondiente. La transformada de Laplace se define mediante una integral impropia.

La transformada de Laplace se puede utilizar para resolver ecuaciones diferenciales. Además de ser una alternativa diferente y eficiente a la variación de parámetros y coeficientes indeterminados, el método de Laplace es particularmente ventajoso para términos de entrada definidos por partes, periódicos.

Transformada de la integral

Las transformadas integrales son operadores que asocian nuevas funciones a funciones de un determinado conjunto mediante integración respecto a un determinado parámetro,

[pic 3]

A la función K (t, s) se la denomina núcleo integral de la transformación y el intervalo de integración (a, b) suele ser infinito. A la función F(s) se la denomina transformada de la función f. Normalmente la transformada integral se puede invertir por medio de una transformada inversa, con un núcleo integral parecido a la inicial. Obviamente las transformadas integrales son transformaciones lineales. Para f, g funciones transformables y a, b ∈ R,

[pic 4]

al estar definidas por medio de integración, que es una operación lineal. La idea de las transformadas integrales es descomponer la función f en suma infinita de funciones de la forma K (t, s0), según interese para el problema concreto.

Ejemplo transformada de la integral

[pic 5]

En este ejemplo, g ( t ) = cos en y de la Tabla de transformadas de Laplace , tenemos:

[pic 6]

Ahora, aplicando la primera regla anterior, tenemos:

[pic 7]

Transformada inversa

Al aplicar la transformada de Laplace a una ecuación diferencial la convertimos en una ecuación algebraica, la cual podemos resolver para Y (s), es decir, Y(s)=G(s). Ahora, como L{y(t)} =Y(s) si pudiéramos devolvernos obtendríamos la solución y(t) que buscamos. Es decir, necesitamos de la transformada inversa L{Y(s)}, para hallar la función y(t).

...