Introducción A La Transformada De Laplace

INTRODUCCIÓN A LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

Los circuitos eléctricos están modelados a través de ecuaciones diferenciales, cuyas soluciones describen el comportamiento total de la respuesta de los circuitos.

Existe un método muy poderoso, la transformada de Laplace, la cual involucra la conversión de ecuaciones diferenciales a ecuaciones algebraicas, facilitando así en gran medidael proceso de solución.

Tercero, la transformada de Laplace es capaz de proporcionar, en una sola operación, la respuesta total del circuito que comprende las respuestas naturales y las forzadas

DEFINICIÓN

La transformada de Laplace es una transformación integral de una función f (t) del dominio temporal al dominio de la frecuencia complejo, lo que da por resultado F (s).

Cuando la transformada de Laplace se aplica al análisis de circuitos, las ecuaciones diferenciales representan el circuito en el dominio temporal. Los términos en las ecuaciones diferenciales toman el lugar de f(t).

Su transformada de Laplace, que corresponde a F(s), constituye las ecuaciones algebraicas que representan al circuito en el dominio frecuencial.

PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

LINEALIDAD

Si F1(s) y F2(s) son, respectivamente, la transformada de Laplace de f1(t) y f2(t), entonces:

donde a1 y a2 son constantes. La ecuación anterior expresa la propiedad de linealidad de la transformada de Laplace .

ESCALAMIENTO

Si F(s) es la transformada de Laplace de f (t), entonces,

donde a es una constante y a 0. Si x at, dx a dt, entonces,

Comparando esta integral con la definición de la transformada de Laplace:

DESPLAZAMIENTO EN EL TIEMPO

Si F(s) es la transformada de Laplace de f(t), entonces,

Pero u(t – a) 0 para t a y u(t – a) 1 para t a. De esta manera,

DESPLAZAMIENTO DE FRECUENCIA

Si F(s) es la transformada de Laplace de f(t), entonces,

DIFERENCIACIÓN EN EL TIEMPO.

Dado que F(s) es la transformada de Laplace de f(t), la transformada de Laplace de su derivada es:

Para integrar esto por partes, sea u e–st, du se–stdt y dv (df / dt) dt df(t), v f(t). Entonces:

INTEGRAL DE CONVOLUCIÓN

El término convolución significa “voltear”. La convolución es una herramienta importante para el ingeniero, porque proporciona un medio para ver y caracterizar sistemas físicos. Por ejemplo, se usa para encontrar la respuesta y(t) de un sistema a una excitación x(t), conociendo la respuesta del impulso del sistema h(t). Esto se logra a través de la integral de convolución, definida como,

La

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