Variantes

Usando esto en la segunda ecuación de (59) da y ’ = c , + xy “/2, de modo que

c 1 = y’ ~ $l

(61)

Finalmente, usando (60) y (61) en la primera ecuación de (59), tenemos

y+4)x+(x~)(~),

(62)

la cual al simplificarla se reduce a la ecuación diferencial de segundo orden

requerida.

X2$’ - 3xy’ + 3 y = 0

(63)

Chequeo. x2y” - 3xy’ + 3y = x2(6c2x) - 3x(r, + 3~~x7 + 3(c,x + c2x3) = 0

Note que y=c,x+c,x3 representa gráficamente a una familia de curuas

de dos parámetros en el plano xy, y (63) es la ecuación diferencia1 de esta fa-

milia.

Observación 6. Si nos dan una solución que contiene n constantes ar-

bitrarias, frecuentemente es fácil obtener una ecuación diferencial de orden

mayor a n que tenga esta solución. Así, en el Ejemplo ilustrativo 2, y = c, x +

c2x3 sería una solución de la ecuación de cuarto grado y(r”)= 0. Por supues-

to que ésta no es la solución general de esta ecuación. Cuando buscamos la

ecuación diferencial que tenga una solución general dada (por ejemplo y =

c r x + ~~3~3 ) buscamos aquella del menor orden, esto es, de orden igual al

número de constantes arbitrarias (en este caso dos).

- EJEMPLO ILUSTRATIVO 3

Encontrar una ecuación diferencial para la familia de círculos con radio

1 y centro en cualquier punto del plano xy.

Solución.

La ecuación de un círculo con centro en (A, B) y radio 1 es

(x - A)Z + (y - B)2 = 1

(64)

Aquí tenemos dos parámetros o constantes arbitrarias A y B. Lo que

buscamos es la ecuación diferencial cuya solución general esté dada por (64),

para lo cual podemos usar el mismo procedimiento dado anteriormente. Di-

ferenciando (64) con respecto a x,

Z(‘c

- A) + 2(v - B)y’ = 0

(65)

4

Resolviendo para (X -A) y sustituyendo en (64), tenemos

(y - Q2(Jq2 + (y - B)Z = 1

(

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