Actividad De Adquisicion Del Conocimiento

I Introducción a las funciones exponenciales

Una función cuadrática puede tener una ecuación de la forma y=ax2. Si intercambiamos el lugar del 2 y la x, se obtiene una clase completamente diferente de función:

Y=a.x

Como la variable es un exponente se le llama función exponencial.

Definición

Una función exponencial es una función en la que la ecuación general es y=a.bx, donde a y b representan constantes, b es positiva, y x,y son las variables independientes y dependientes respectivamente.

Para describir verbalmente esta clase de funciones puedes decir: “y varia exponencialmente con x”.

Definición

Potenciación

Para exponentes enteros positivos xn significa el producto de n veces x como factor.

En la expresión xn

X es llamada base

N es llamada exponente

Xn toda la expresión se nombra potencia.

Si la base de una potencia esta compuesta de masa de un símbolo, entonces debes colocarlas entre paréntesis.

II Exponenciación para exponentes racionales.

Las propiedades de la exponenciación para exponentes enteros-positivos se generalizan a los exponentes racionales. Cuando utilizas la calculadora puedes evaluar potencias con exponentes negativos o con exponentes no enteros (2-3=0.25, o 22.5=5.656854…). En realidad lo que hace la calculadora es seguir un algoritmo basado en esas propiedades de los exponentes.

Recordamos las reglas que nos van a premitir el trabajo con exponentes no positivos o no enteros.

Las propiedades del cociente de dos potencias con bases iguales, establece que:

Xa =xa-b

Xb

Si “a” es menor que “b”, la propiedad conlleva a los exponentes negativos por ejemplo:

X3=x3-5=x-2

X5

las respuestas también pueden ser encontrada escribiendo las x y después cancelando factores comunes del numerador y denominador, respectivamente.

X3= x.x.x. =1

X5 x.x.x.x.x. x2

Definición

Exponentes negativos

La expresión x-n es definida como: x-n 1/xn

Definición

Raíz cubica

La “raíz n- estima” de x un numero que cuando se eleva a la n potencia se obtiene x como respuesta.

Se suele representa con la expresión radical n √x.

cada una de las partes de la expresión n √x tiene nombre específicos: n… índice de la raíz, x… radicando, √ … signo radical.

Exponentes recíprocos

la raíz n- esima puede ser expresada en términos de exponentes recíprocos: n√x=x

si el exponente de x es una fracción con 3/4 , y como lo hemos dicho, las propiedades son todavía validad para este tipo de exponentes, entonces:

x 3/4=x(3/4)(3)=(4√x)3

Esto conduce a una definición general de exponentes fraccionarios.

Ejemplo

Evalua 136 ¾ de dos formas: primero como (4√136)3=(136 ¼)3, y depues como 136 0.75. muestra que las dos respuestas son iguales.

Procedimiento

Presiona en tu calculadora las siguientes teclas.

136xy 1/y 3 =. Igual El resultado es 39.82485…

Luego presiona: 136xy 0.75

Solución

El resultado es 39.82485..

Las dos respuestas son iguales. Esto confirma que

136 ¾ =(1361/4)3= (4√136)3

Ejemplo.

Evalúa 6√85.766121 utilizando la definición de exponentes racionales. Verifica que tu respuesta es correcta, multiplicando.

Procedimiento.

6√85.766121 = (85.766121) 1/6

La secuencia de las teclas es: 85.766121 x1/y

Solución.

La respuesta es 2.1

Para verificar esta respuesta, multiplica: (2.1) (2.1) (2.1) (2.1) (2.1) (2.1); o bien en la calculadora (2.1) xy6. La respuesta es 85.766121.

III potencias y radicales sin calculo.

Ejemplo.

Evalua 8 4/3

Procedimiento 8 2/3 =3√82 aquí puedes seguir cualquiera de dos procedimientos:

a) Elevar al cuadrado el 8, obteniendo 64, y a este resultado extraerle raíz cubica, lo cual da 4.

b) Sacar la raíz cubica al 8, que es 2, y luego elevarla al cuadrado, lo cual da 4.

Solución

Para resolver este problema mentalmente, debes identificar que 8 es igual a 23, asi que la raíz cubica de 8 es 2; o bien, identificar que 64 es 43, lo que significa que la raíz cubica de 64 es 4.

Ejemplo.

Evalúa 216 4/3

Procedimiento

Ya que la base 216 es relativamente grande, primero debes factorizarlo y expresarlo como productos de potencias. Una manera de hacer esto se muestra a continuación:

216÷ 2=108

108÷ 2=54

54÷2=27

27÷3=9

9÷3=3

3÷3=1

Los factores primos de 216 aparecen a la derecha del signo de división: Asi:

216: 2.2.2.3.3.3=23.33

Para evaluar 216 4/3 , debes por lo tanto escribir :

216 4/3 =(23.33)4/3 la base factorizada.

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