Cuadriláteros y sus propiedades

Cuadriláteros y sus propiedades.

Escrito por: Mariela Rodriguez

En el siguiente ensayo se hará un análisis de los cuadriláteros y sus propiedades considerando en un inicio un esquema en el cual pueden apreciarse sus características y su organización. Después se reconocerá como un rectángulo cualesquiera puede ser inscriptible en una circunferencia y se le aplicará el Teorema de Tales. Por último, se analizarán en algunos casos las relaciones que presentan los ángulos en algunos cuadriláteros.

Un cuadrilátero puede definirse como la reunión de cuatro segmentos de recta intersecados únicamente por sus extremos, en donde tres de ellos no se encuentran alineados. A continuación, se presenta un esquema jerárquico en el cual se muestra una clasificación de los cuadriláteros considerando sus lados y sus ángulos.  

                    [pic 1]

Es importante destacar, que según su definición, un trapecio no es un paralelogramo, ya que debe de tener ambos lados opuestos paralelos, pero algunos autores pueden llegar a considerarlo como tal debido a que posee un par de lados paralelos.

Se dice que un cuadrilátero se encuentra inscrito en una circunferencia cuando todos sus vértices se encuentran ubicados en la misma. Un rectángulo cualesquiera es inscriptible en una circunferencia debido ya suma de sus ángulos opuestos son suplementarios ya que suman 180°, además de esto, al poseer todos sus ángulos rectos (90°), la suma de sus ángulos interiores corresponde a 360°.  

También es importante considerar cualquiera que al dividir el rectángulo haciendo uso de alguna de sus diagonales, obtenemos dos triángulos rectángulos. Así mismo esta diagonal corresponde al diámetro del círculo.

Como el rectángulo es un cuadrilátero inscriptible en una circunferencia, debe de cumplir con el  Teorema de Ptolomeo, el cual maneja que el producto de las diagonales es igual a la suma de los productos de los lados opuestos, ósea:[pic 2]

(AC) (DB) = (AB) (CD) + (AD) (BD).

Considerando que un rectángulo esta formado por dos triángulos rectángulos podemos relacionar esto con el Teorema de Pitágoras y remplazando en la igualdad anterior obtenemos que:

                           (AC)2=(AB)2+(BC)2

De esta manera se puede concluir que un rectángulo cualesquiera es incritible en una circunferencia.

A continuación, se presentan tres relaciones las cuales serán analizadas a partir de los ángulos que se indican.

• A) α + β comparando con x +y [pic 3]

Tenemos que: α + β + b + c =360° y  

x + y + b + c=360°

Por lo tanto, α + β + b + c = x + y + b + c

Al eliminar en ambos lados de la igualdad b y c, queda demostrado que:  

α + β = x + y

• B) Cómo se obtiene x a partir de α y β, para este primer caso.

Tenemos que:

1. α + β + θ + θ + λ + λ= 360°[pic 4]

θ + λ + x =180°

θ + λ =180° - x

Por lo tanto, podemos igualar de la siguiente manera:

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