Civil

V.- EJERCICIOS

EJERCICIO 1 

Hallar el jacobiano. El Jacobiano de la transformación T dada por : [pic 1] y [pic 2] Se puede obtener de la siguiente manera.

> with(linalg):

> x:=g(u,v): y:=h(u,v): A:=vector([x,y]):

> T:=jacobian(A,[u,v]);

[pic 3]

> Jac:=det(T);

[pic 4]

> x:='x': y:='y':

EJERCICIO 2:.

Hallar el Jacobiano de la siguiente expresion: [pic 5].

> x:=u^2-v^2: y:=u^2+v^2:

> Jac:=det(jacobian(vector([x,y]),[u,v]));

[pic 6]

EJERCICIO 3 

 Encuentre el Jacobiano de la Transformacion: [pic 7].

> A:=vector([2*u,3*v^2,4*w^3]);

[pic 8]

> Jac:=det(jacobian(A,[u,v,w]));

[pic 9]

EJERCICIO 4

La integral de superficie de g(x,y,z) más de esa porción de la superficie  z=z(x,y) dentro del cilindro con R , la región limitada por las curvas y=y1(x),y=y2(x), x=a y x=b . Está dada por:

[pic 10]

[pic 11]

Reconociendo el elemento de superficie-área como

[pic 12]

[pic 13]

Vemos que esta integral es sólo el "volumen" en la superficie , g                            

pero en el interior del cilindro cuya presencia en el plano xy es la región R.

Por ejemplo, tomamos g(x,y)=1y la superficie z=1  delimitada  por las curvas y1=x^2  y   y2=x, la integral de superficie es sólo el área de R, dada por el comando SurfaceInt como:

[pic 14]

[pic 15]

Sin embargo, el área de También se da por:

[pic 16]

[pic 17]

EJERCICIO 5

Calcular la integral de superficie de

[pic 18]

[pic 19]

en que parte de la superficie:

[pic 20]

[pic 21]

La integral de superficie de g(x,y,z)  más de una superficie descrita por paramétricamente

[pic 22]

Esta dado por:

[pic 23]

[pic 24]

La forma paramétrica para el elemento de área superficial cuando la superficie se da de forma paramétrica es

 [pic 25]

dondeJ1, J2,J3 SON RESPECTIVAMENTE LOS JACOBIANOS

[pic 26]

[pic 27]

QUE SE OBTIENE ATRAVEZ DE:

[pic 28]

[pic 29]

[pic 30]

[pic 31]

Si una esfera de radio a> 0 se describe en coordenadas esféricas por

,[pic 32]a continuación, su superficie está dada por:

[pic 33]

[pic 34]

Alternativamente, el área de superficie de una esfera de radio también se puede encontrar con:

[pic 35]

[pic 36]

[pic 37]

EJERCICIO 6

Evaluar la integral de y sobre la región limitada por  y=0,  [pic 38],  y    [pic 39], usando el cambio de variable  [pic 40], [pic 41].

> x:=u^2-v^2: y:=2*u*v:

Cambiar las curvas delimitadas por las ecuaciones:

...