Derivadas

CALCULO DIFERENCIAL

Escuela Colombiana de Ingeniería

3.- Derivadas Algebraicas

3DERIVADAS ALGEBRAICAS

3 DERIVADAS ALGEBRAICAS

Entiéndase la derivada como la pendiente de la recta tangente a la función en un punto

dado, lo anterior implica que la función debe existir en ese punto para poder trazar una

recta tangente en él.

3.1. DIFERENCIACIÓN NORMAL

La derivada se puede conocer como un caso particular del límite.

Para conocer numéricamente el valor de la pendiente de una función en un punto dado

es necesario resolver la ecuación:

( ) ( )

h

f x h f x

Pendiente en P Lim

h

1 1

0

1

+ -

=

®

Para lo cual hay necesidad de utilizar una calculadora y evaluar la ecuación en valores

cercanos a cero (0).

A lo anterior se le conoce como el método numérico, utilizado para conocer la pendiente

de la ecuación de grado menor, pero existe lo que se llama diferenciación formal para

resolver ecuaciones de grado superior.

3.2. FUNCIONES POLINOMIALES Y SUS DERIVADAS

Existen los conocidos monomios y polinomios, los primeros contiene solamente una

expresión de la variable, y los segundos corresponden a una suma finita de monomios.

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Derivada

Sea y = f (x) una función de x. Si el limite

( ) ( ) ( )

h

f x h f x

f x Lim

dx

dy

h

= = + -

®0

'

Existe y es finito, diremos que este límite es la derivada de ¦

respecto a x y que ¦ es diferenciable en x.

A continuación se estudiaran algunas reglas para diferenciación:

Derivada de una Constante

Regla No. 3.1 La derivada de una constante es cero

El significado geométrico de esta afirmación es el hecho que la pendiente de la recta

y = c , para cualquier valor de x, es cero.

Derivada de una potencia entera positiva

Potencias enteras positivas de x

Regla No. 3.2

Si n es un número entero positivo, entonces:

d n n 1

x n x

dx

= -

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Deducción:

y = f (x) = xn

Entonces

( ) ( )

x

f x x f x

x

y

D

= + D -

D

D

Como n es un número entero positivo, se puede aplicar:

an - bn = (a - b) (an-1 + an-2b +........+ abn-2 + bn-1 )

Donde a = x + Dx , b = x , a - b = Dx , que reemplazado en la ecuación anterior da:

( ) ( )

x

x x x

x

y n n

D

= + D -

D

D

( )( ( ) ( ) ( ) )

( ( ) ( ) ( ) )

1 2 2 1

1 2 2 1

......

......

n n n n

n n n n

y x x x x x x x x x x

x x

y

x x x x x x x x x

x

- - - -

- - - -

D = D + D + + D + + + D +

D D

D = + D + + D + + + D +

D

Haciendo que Dx ®0 ,

x 0

dy y

Lim

dx D ® x

D  =    D 

(( 0) 1 ( 0) 2 ........ ( 0) 2 1 ) dy n n n n

x x x x x x

dx

= + - + + - + + + - + -

( n 1 n 1 ...... n 1 n 1 ) dy

x x x x

dx

= - + - + + - + -

dy n 1

n x

dx

= -

Ejemplos.: a.) Derivar la expresión: y = x5

(x5 ) 5x4

dx

d =

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b.) Derivar la expresión: y = x3

( 3 ) 3 2

d

x x

dx

=

Derivada de una Constante por una Función

Constante por una función

Regla No. 3.3

Si u = f (x) es cualquier función diferenciable de x, y c es

una constante, entonces:

( ) d du

c u c

dx dx

=

La regla se resume en el hecho que la derivada de una constante por una función es la

constante multiplicada por la derivada de la función.

Geométricamente hablando significa que si multiplicamos la ordenada de una función por

un valor cualquiera, estamos multiplicando por ese mismo número el valor de la

pendiente.

Deducción:

( ) ( ) ( ) =

D

= + D -

D ® x

cf x x cf x

cu Lim

dx

d

x 0

Aplicando la definición de Derivada.

( ) ( ) ( ) = 

D

= + D -

D ® x

f x x f x

cu Limc

dx

d

x 0

Factorizando la constante

( ) ( ) ( ) = 

D

= + D -

D ® x

f x x f x

cu c Lim

dx

d

x 0

Aplicando límite de la constante

( )

dx

du

cu c

dx

d = Remplazando el limite por la

definición de la derivada.

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Ejemplo: Derivar la expresión y = 7x5

(7 5 ) 7 (x5 )

dx

d

x

dx

d = Por tratarse de una constante.

(7 5 ) 7(5 4 )

d

x x

dx

= Aplicando la derivada de la

potencia.

(7x5 ) 35x4

dx

d = Realizando el producto.

Derivada de una Suma

Regla de la suma

Regla No.3.4

Si u y v son funciones diferenciables de x, entonces la

suma u + v es una función diferenciable de x, y

( )

dx

dv

dx

du

u v

dx

d + = +

Para todos los valores de x en que existan las derivadas de

u y v

La idea es que si u y v tiene derivadas en el punto x, entonces sus suma también tiene

derivada en x y corresponde a la suma de las derivadas de u y v en x.

Análogamente, la derivada de la suma de cualquier número

finito de funciones diferenciales es la suma de sus derivadas.

Deducción :

y = u + v » f (x)

y + Dy = (u + Du) + (v + Dv) » f (x + Dx) Sumando en cada término.

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Dy = Du + Dv » f (x + Dx)- f (x) Restando

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