LEYES APLICABLES A ALGUNOS FENÓMENOS ONDULATORIOS

LEYES APLICABLES A ALGUNOS FENÓMENOS ONDULATORIOS

En este documento se deducen leyes sobre comportamientos de las ondas en casos sencillos.

1) Ley de amortiguación

Considerando que tiene un movimiento armónico simple, la energía que emite el foco de una onda es: E = (2p2m) n2 A2

Si la onda se propaga en más de una dimensión, esta energía se va transmitiendo a cada vez más puntos y cada uno sólo recibe una porción de la energía original del foco, tanto menor cuanto más nos alejemos del origen de las vibraciones. Por otra parte, todos los puntos del medio alcanzado por la onda vibran con la misma frecuencia, n. Por tanto, al aplicar el

principio de conservación de la energía a dos frentes de onda (1 y 2) escribimos:

E1 = E2 Æ 2π2 m1 n 2 A2

= 2π2 m2 n 2 A2

Æ m1 A2

= m2 A2

(1)

En la situación que muestra el dibujo adjunto m2 > m1 y se debe cumplir A2 < A1.

Para averiguar la relación precisa entre las dos amplitudes tenemos que hallar antes la

F

existente entre las masas m1 y m2. Si los frentes de ondas son esféricos, la densidad 1

2

superficial, en cada uno de los dos frentes es:

σ = m1

σ = m2 ,

1 4πR 2

2 4πR 2

Consideramos que el medio es homogéneo, con lo que ambas densidades son iguales y se obtiene: m1 R 2

= m2 R 2

(2)

Combinando las ecuaciones (1) y (2) se obtiene finalmente:

A = A R1

2 1

2

Llamamos a esta última expresión ley de atenuación o amortiguamiento de las amplitudes en el caso de ondas esféricas. Informa de cómo va disminuyendo la amplitud de estas ondas conforme nos vamos alejando del foco. Para obtener la relación entre las intensidades correspondientes supondremos que dicho foco emite siempre con una misma

potencia, P. Entonces, la intensidad a una distancia R es:

I = P

(3) Es decir, siendo P constante, la intensidad disminuye con el cuadrado de la distancia al foco.

4π R2

Simplemente aplicando la ecuación (3) a los dos frentes de onda se obtienen la ley de atenuación o amortiguamiento de

las intensidades:

I 2 = I

2

1

1 2

2

2) Ley de absorción

En general, cuando se interpone un obstáculo a la propagación de una onda la intensidad de ésta decae porque las moléculas del material interpuesto tienen dificultad para reproducir y transmitir la vibración. Al recibir la energía de la onda lo más normal es que se mueven o vibren de una forma desordenada y la energía se transforme con mayor o menor rapidez en energía interna del obstáculo.

Para deducir una ley que rige esta absorción de energía imaginamos la incidencia de una onda plana sobre una lámina de grosor dx. La intensidad de la onda que sale después de atravesar dicha lámina es menor que la incidente y esperamos que la disminución que se ha producido en la intensidad dI sea mayor cuando mayor sea el grosor dx y diferente según cual sea el material de la lámina, que caracterizamos mediante un coeficiente (β). Es decir, escribimos a modo de hipótesis, la siguiente expresión para la disminución de intensidad durante la penetración de la onda: dI = - β•dx. Integrando esta expresión diferencial, se obtiene la ley de absorción:

I = I0 • e-βx

La figura adjunta muestra el perfil típico de las gráficas de la disminución de intensidad por absorción. Se representan gráficas de dos materiales distintos A y B, observándose que a cada uno de ellos le corresponde un coeficiente distinto de absorción para un tipo de ondas dado.

Entre los muchos ejemplos de aplicación de esta ley mencionamos la pérdida de intensidad que experimentan las ondas sonoras al atravesar paredes y ventanas de diferentes materiales y grosores, y en el interés práctico que tiene el estudio de este fenómeno para poder aislar acústicamente viviendas, salas música, etc.

3) Ley de la reflexión

En la figura se representa un frente de ondas plano llegando a una superficie horizontal con un ángulo iˆ de incidencia. Cuando empieza a "tocar" la superficie, el punto A se convierte en un nuevo foco que emite ondas secundarias. Según transcurre el tiempo y el frente AB va incidiendo, todos los puntos de la superficie comprendidos entre A y C se van convirtiendo en focos secundarios. El frente de ondas reflejado, DC, es el envolvente de las ondas secundarias que se han ido emitiendo. Como la

onda no cambia de medio, la velocidad de propagación de la onda incidente es igual a la de la onda reflejada. Además, el intervalo de tiempo Δt que la onda secundaria emitida por B emplea en llegar a C es igual al empleado por la primera onda secundaria reflejada emitida por A en llegar D. Por tanto AD = BC.

En los triángulos ABC y ADC, tenemos: sen iˆ = BC/AC sen rˆ = AD/AC Como BC = AD Æ sen iˆ = sen rˆ Æ iˆ = rˆ

Esta expresión es la primera ley de la reflexión. La segunda expresa que el rayo incidente, la normal y el rayo refractado están en un mismo plano.

4) Ley de la refracción

En la figura adjunta se representa la refracción de una onda plana desde un medio 1 a otro medio 2, suponiendo que la velocidad de propagación es menor en el segundo. A medida que el frente de ondas AB va incidiendo en la superficie de separación, los puntos AC de esa superficie se convierten en focos secundarios y transmiten la vibración hacia el medio 2. Debido a que la velocidad en el segundo medio es menor, la envolvente de las ondas secundarias transmitidas conforma un frente de ondas EC, en el que el punto E está más próximo a la superficie de separación que el B. En consecuencia, al pasar al segundo medio los rayos se desvían acercándose a la

dirección normal N.

Para obtener una ley cuantitativa sobre este proceso, tenemos en cuenta que en la figura anterior, el intervalo de tiempo entre B y C es el mismo que entre A y E. Por lo tanto:

BC = v1•Δt AE = v2•Δt

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