METODO TAYLOR

a Metodo de Taylor de una función f real o compleja ƒ(x) infinitamente diferenciable en el entorno de un número real o complejoa es la siguiente serie de potencias:

que puede ser escrito de una manera más compacta como la siguiente suma:[pic 1],

donde:

• n! es el factorial de n
• f (n)(a) denota la n-ésima derivada de f para el valor a de la variable respecto de la cual se deriva.

La derivada de orden cero de f es definida como la propia f y tanto (x − a)0 como [pic 2] son ambos definidos como 1 ([pic 3] = 1). En caso de ser a = 0, como ya se mencionó, la serie se denomina también de McLaurin.

Cabe destacar que en una serie de Taylor de potencias centrada en a de la forma [pic 4] siempre se puede hacer el cambio de variable [pic 5] (con lo que [pic 6] en la función a desarrollar original) para expresarla como [pic 7]centrada en 0. Luego hay que deshacer el cambio de variable. Por ejemplo, si se quiere desarrollar la función [pic 8]alrededor de a = 1 se puede tomar [pic 9], de manera que se desarrollaría [pic 10] centrada en 0.

Historia[]

El filósofo eleata Zenón de Elea consideró el problema de sumar una serie infinita para lograr un resultado finito, pero lo descartó por considerarlo imposible: el resultado fueron las paradojas de Zenón. Posteriormente, Aristóteles propuso una resolución filosófica a la paradoja, pero el contenido matemático de esta no quedó resuelto hasta que lo retomaron Demócrito y después Arquímedes. Fue a través del método exhaustivo de Arquímedes que un número infinito de subdivisiones geométricas progresivas podían alcanzar un resultado trigonométrico finito.1​ Independientemente, Liu Hui utilizó un método similar cientos de años después.2​

En el siglo XIV, los primeros ejemplos del uso de series de Taylor y métodos similares fueron dados por Madhava de Sangamagrama.3​ A pesar de que hoy en día ningún registro de su trabajo ha sobrevivido a los años, escritos de matemáticos hindúes posteriores sugieren que él encontró un número de casos especiales de la serie de Taylor, incluidos aquellos para las funciones trigonométricas del seno, coseno, tangente y arcotangente.

En el siglo XVII, James Gregory también trabajó en esta área y publicó varias series de Maclaurin. Pero en 1715 se presentó una forma general para construir estas series para todas las funciones para las que existe y fue presentado por Brook Taylor, de quién recibe su nombre.

Las series de Maclaurin fueron nombradas así por Colin Maclaurin, un profesor de Edinburgo, quién publicó el caso especial de las series de Taylor en el siglo XVIII.

1. MÉTODOS DE TAYLOR

Al intentar mejorar la solución obtenida con la aplicación del método de Euler aparecen de manera natural los métodos de Taylor. Desde un punto de vista teórico los métodos de Taylor son sencillos y permiten obtener una mayor precisión sin más que aumentar convenientemente el grado del desarrollo. Para obtener los métodos de Taylor se debe aplicar a la solución de la ecuación diferencial un desarrollo de Taylor de orden k en cada punto xn = x0 + nh, con lo que se obtiene la fórmula:

h2        hk        (k

yn+1 ≅ yn + h·y’n +        ·y’’n + ... +        ·y n.

2!        k!

Por tanto, para poder aplicar un método de Taylor de orden k se tiene el inconveniente de tener que evaluar, en cada paso, las primeras k derivadas de la función f(x, y) que define la ecuación diferencial, lo que actualmente se realiza sin dificultad mediante programas de cálculo simbólico, aunque se debe tener en cuenta que dicha función debe tener derivadas parciales sucesivas en la región  del plano en la que se evalúe la curva solución.

Como y’(x) = f(x, y(x)), derivando se obtiene que y’n = f(xn, y(xn)):

d 2y        ∂f[pic 11][pic 12]

∂f        dy

dx 2

= ∂x (x, y(x)) +

(x, y(x))·

∂y        dx[pic 13][pic 14]

= fx + fy·f

Métodos de Taylor

Se presenta de nuevo el problema de valor inicial cuya solución se intenta aproximar:
 

Como en el método de Euler, se determina primero la malla {t0, t1, ... , tN} de paso h, donde t0 = a y  tN = b. En estos puntos es donde se va a obtener la aproximación de la solución.

El método de Euler se obtuvo aplicando el desarrollo de una función en polinomios de Taylor con n = 1, para aproximar la solución de la ecuación diferencial del problema (1). El error local de este método, dado por el error de la fórmula de Taylor, resultó O(h2), llevando a un error global de O(h). Con el objeto de encontrar un método que mejore las propiedades de convergencia, se pueden utilizar, de la misma manera, polinomios de Taylor de mayor grado.

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