METODO DE LA SERIE DE TAYLOR

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ÍNDICE

Unidad 6

INTRODUCCION        3[pic 17]

6.1 METODO DE LA SERIE DE TAYLOR                4-7

6.2 METODO DE EULER Y EULER MEJORADO         8-11[pic 18]

6.3 METODO DE RUNGE KUTTA        12-13

6.4 SOLUCION DE SISTEMAS DE ECU. DIF. ORD. CON VALORES INIC.        14-17        [pic 19]

6.5 APLICACION DE LA SERIE DE TAYLOR           18[pic 20]

BIBLIOGRAFIA        19[pic 21]

INTRODUCCION

Las leyes que gobiernan los fenómenos de la naturaleza se expresan habitualmente en forma de ecuaciones diferenciales. Las ecuaciones del movimiento de los cuerpos (la segunda ley de Newton) es una ecuación diferencial de segundo orden, como lo es la ecuación que describe los sistemas oscilantes, la propagación de las ondas, la transmisión del calor, la difusión, el movimiento de partículas subatómicas, etc.

Pocas ecuaciones diferenciales tienen una solución analítica sencilla, la mayor parte de las veces es necesario realizar aproximaciones, estudiar el comportamiento del sistema bajo ciertas condiciones. Así, en un sistema tan simple como un péndulo, la amplitud de la oscilación ha de ser pequeña y el rozamiento ha de ser despreciable, para obtener una solución sencilla que describa aproximadamente su movimiento periódico.

Se estudia el procedimiento de Runge-Kutta que se aplica de forma directa a una ecuación diferencial de primer orden, pero veremos cómo se extiende a un sistema de ecuaciones de primer orden, a un ecuación diferencial de segundo orden y a un sistema de ecuaciones diferenciales de segundo orden.

El procedimiento de Runge-Kutta se puede programar fácilmente en los ordenadores y además, se emplea mucho en la práctica, debido a la su exactitud relativamente elevada de la solución aproximada de la ecuación diferencial. La justificación del procedimiento de Runge-Kutta no es sencilla, el lector interesado puede consultar algún libro de métodos numéricos de análisis.

6.1 METODO DE LA SERIE DE TAYLOR

Supóngase qué y(t) es la solución del problema (1) y que el intervalo [a,b] se divide en N subintervalos de longitud constante.

[pic 22]
[pic 23]

De acuerdo con el teorema de Taylor, si y tiene derivadas continuas,

[pic 24]

Si se reemplaza t i+1 por x, ti por x0 y t i+1- ti por h resulta:

[pic 25] (2)

para cada i = 0, 1, 2..., N - 1

Si y(ti+1) se aproxima con un polinomio de Taylor de grado 1

y(ti+1) [pic 26] y( ti ) + y'( ti )h, pero y'( ti ) = [pic 27] ( ti ) = f( ti, y( ti ) ) por (1)

Luego y(ti+1) [pic 28] y( ti ) + f( ti, y( ti ) )h

Si yi = y( ti ) y y0 = y( t0 ) = [pic 29], la solución y( t ) se puede aproximar por:

Este método se conoce como el método de Euler o método de Taylor de orden 1 (ó método de las tangentes).

Observe que y1 = y0 + hy'0, y2 = y1 + hy'1 donde y'0 = y'(t0) , y'1 = y'(t1).

En la se muestran varios pasos del método de Euler. Los puntos (t1, y1),(t2, y2),...,(tN , yN) son aproximaciones a los puntos (t1, y(t1)) , (t2, y(t2)), ..., (tN ,y(tN)) en la curva solución y(t).

Si en la ecuación (2) y(ti+1) se aproxima por un polinomio de Taylor de grado 2 resulta:

[pic 33], como y' = f(t,y)   y   y" = f’(t,y) entonces[pic 34]

La solución y(t) se puede aproximar ahora por:

Este método se conoce como el método de Taylor de orden 2.

Ejemplo 1.

La ecuación diferencial

[pic 38] = 2ty, 1 [pic 39] t [pic 40] 1.5

 y(1) = 1

Tiene como solución exacta o analítica a [pic 41], ya que [pic 42], además y(1) = 1.

Si se quiere aproximar la solución con N=5, entonces 
h=0.1,    ti=1+0.1i,    f(ti, yi) = 2tiyi

Si se utiliza el método de Euler entonces:

...