El estudio de la serie de Taylor

Introducción

En el presente trabajo de investigación se explicara de manera clara y precisa sobre el estudio de la serie de Taylor, como surge y para qué sirve, al igual se interpreta detenidamente sus fórmulas y cómo podemos utilizarlas según las variables que contengan, además de la expansión de una función arbitraria, expansión de Taylor y de extremo relativo, sin obviar el diferencial de segundo orden de la serie de Taylor.

Cada tema expuesto será explicado detenidamente y cada uno contendrá ejemplos para la mayor comprensión sobre el tema.

Series  de Taylor

La serie de Taylor  es una serie funcional y surge de una ecuación en la cual se puede encontrar una solución aproximada a una función, la cual proporciona una buena forma de aproximar el valor de una función en un punto en términos del valor de la función y sus derivadas en otro punto.

 Dado que para hacer esta aproximación sólo se pueden tomar unas cuantas expresiones de esta serie, por lo que el resto resulta en un error conocido como el término residual.

Pueden resolver por aproximación funciones trigonométricas, exponenciales, logarítmicas etc. Se basa en ir haciendo operaciones según una ecuación general y mientras más operaciones tenga la serie más exacto será el resultado que se está buscando, el cual se lo realizara con la siguiente formula ya sea con una variable o con dos o más variables.

Formula de la serie de Taylor de una función con una variable

Este teorema permite aproximar una función derivable en el entorno reducido alrededor de un punto) mediante un polinomio cuyos coeficientes dependen de las derivadas de la función en ese punto. Más formalmente, si [pic 1] ≥ 0 es un entero y [pic 2] una función que es derivable [pic 3] veces en el intervalo cerrado [[pic 4], [pic 5]] y [pic 6]+1 veces en el intervalo abierto ([pic 7], [pic 8]), entonces se cumple la siguiente función:

[pic 9]

La cual puede ser escrita de la siguiente manera como sumatoria:

[pic 10]

 Donde  Es el factorial de
 denota la n-enésima derivada de e para el valor de la variable respecto de la cual se deriva.[pic 11][pic 12][pic 13][pic 14]

Formula de la serie de Taylor de una función con dos variables

[pic 15]

En la segunda línea de esta fórmula aparecen los términos de grado dos, que involucran a las derivadas segundas de f en p. Como puede verse, los términos de grado menor coinciden con los del polinomio de Taylor de orden uno. Esta es una propiedad general de los polinomios de Taylor, y que ya conocemos en el caso de funciones de una variable: al aumentar el grado del polinomio se añaden nuevos términos a los ya conocidos.

Serie de Taylor de una función polinomial

Si queremos desarrollar en torno a un punto especifico  podemos interpretar como cualquier valor de x como una desviación de  [pic 16][pic 17]

 Es una variable pero:  es un número fijo,  es una variable[pic 18][pic 19][pic 20]

Ejemplo:

 [pic 21]

 [pic 22]

                                                                                                          (1)[pic 23]

[pic 24]

  Podemos desarrollar la serie de Maclaurin:[pic 25]

                                                                                           (2) [pic 26]

Nos queda que

, y si   entonces  por consiguiente , para el caso de [pic 27][pic 28][pic 29][pic 30][pic 31]

Entonces:

                    [pic 32][pic 33][pic 34]

Tenemos:

                                                     (3)[pic 35]

Debemos comparar este resultado, el polinomio de Taylor de , con el polinomio de Maclaurin  de (2)[pic 36][pic 37]

                         [pic 38][pic 39][pic 40]

El polinomio de Taylor (3) se convierte en:

 [pic 41]

 [pic 42]

[pic 43]

La fórmula generalizada de Taylor es:

[pic 44]

Expansión de una función arbitraria

Es posible expresar alguna función arbitraria , una que no necesariamente es polinomio, en una forma polinomial similar a:[pic 45]

[pic 46]

Siempre que  tenga derivadas continuas finitas hasta el orden deseado en el punto de expansión x0.[pic 47]

 De acuerdo con la proposición matemática conocida como teorema de Taylor, dada una función arbitraria  si conocemos el valor de la función en  es decir y los valores de sus derivadas en ,  entonces esta función se puede desarrollar en torno al punto  como sigue[pic 48][pic 49][pic 50][pic 51][pic 52][pic 53]

 [pic 54]

n[pic 55]

n+Rn         formula de Taylor con residuo[pic 56]

Donde n representa el polinomio de n-esimo grado (entre corchetes), los primeros (n+1) términos de la derecha, y Rn denota un residuo. La presencia de Rn es lo que distingue  a:[pic 57]

 n[pic 58]

n+Rn de la fórmula de Taylor [pic 59][pic 60][pic 61]

Y es por esta razón, que se llama formula de Taylor con residuo. La forma del polinomio Pn y el tamaño del residuo Rn dependerán del valor de n que se elija. Mientras más grande sea n, más términos habrá en Pn; en consecuencia, Rn en general tomara un valor diferente para cada n distinta.

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