ESTUDIO DE SERIES Y FUNCIONES ESPECIALES

Teniendo en cuenta la siguiente información conteste las preguntas 1, 2 y 3.

Toda serie de potencias tiene un radio de convergencia . Si , entonces la serie de potencias  [pic 3][pic 4]

[pic 5]

converge para  y diverge para .  Si la serie converge sólo en su centro  entonces . Si la serie converge para todo  entonces se escribe  . [pic 6][pic 7][pic 8][pic 9][pic 10][pic 11]

Es importante recordar que la desigualdad de un valor absoluto es igual a:

[pic 12]

    [pic 13][pic 14]

Una serie de potencias podría converger o no en los puntos extremos  y de este intervalo.[pic 15][pic 16]

1. Teniendo en cuenta lo anterior, ¿para qué valores de  converge la serie de potencias?[pic 17]

[pic 18]

1. La serie converge  para   lo que equivale a  2[pic 19][pic 20]
2. La serie converge absolutamente para   lo que equivale a  [pic 21][pic 22]
3. No se puede determinar la convergencia
4. La serie converge absolutamente para   lo que equivale a  -[pic 23][pic 24]

PROPOSICION ENUNCIADO O EXPRESION MATEMATICA

RAZÓN O EXPLICACIÓN

Solución

[pic 25]

Aplicamos el criterio del cociente

[pic 26]

Reemplazamos valores

[pic 27]

Simplificamos

[pic 28]

Aplicamos límites

[pic 29]

Propiedad de la desigualdad de un valor absoluto

[pic 30]

Solución de la desigualdad e intervalo de convergencia.

[pic 31]

La respuesta correcta es la B.

La serie converge absolutamente para   lo que equivale a  [pic 32][pic 33]

1. El radio de convergencia de la serie de potencias es:

[pic 34]

1. [pic 35]
2. [pic 36]
3. [pic 37]
4. [pic 38]

PROPOSICION ENUNCIADO O EXPRESION MATEMATICA

RAZÓN O EXPLICACIÓN

Desarrollo

[pic 39]

Criterio de radio de convergencia

[pic 40]

Aplicamos el criterio del cociente

[pic 41]

Reemplazamos valores

[pic 42]

Simplificando

[pic 43]

Propiedades del valor absoluto

[pic 44]

Aplicamos límites

[pic 45]

Aplicamos propiedad uniforme

[pic 46]

Criterio de radio de convergencia (1)

La respuesta correcta es la D.

[pic 47]

1. ¿Cuál es el conjunto de convergencia absoluta y el radio de convergencia de la siguiente serie?

[pic 48]

1. Conjunto (-1, 1)  [pic 49]
2. Conjunto (-1, 1]  [pic 50]
3. Conjunto [-1, 1)  [pic 51]
4. Conjunto [-1, 1]  [pic 52]

PROPOSICION ENUNCIADO O EXPRESION MATEMATICA

RAZÓN O EXPLICACIÓN

Utilizando el criterio de D’Alembert

   [pic 53][pic 54]

 =         [pic 55][pic 56][pic 57][pic 58][pic 59][pic 60][pic 61][pic 62][pic 63]

Conjunto (-1,1) ya que si |x|=1 no habría información sobre la divergencia por este método.

1. Un punto singular de  se puede definir como:[pic 64]

1. Es un punto donde las funciones  y  no tienen ni pueden tener una representación en series de potencias.[pic 65][pic 66]
2. Es el punto  que al formar los siguientes productos  y  hace que sea analítico en [pic 67][pic 68][pic 69][pic 70]
3. Es el punto  que al formar los siguientes productos  y  hace que sean desarrollables en series de potencias[pic 71][pic 72][pic 73]
4. Es el punto donde una ecuación tiene representación en series de potencias, no importando  si están definidas o no las funciones en dicho punto.

PROPOSICION ENUNCIADO O EXPRESION MATEMATICA

RAZÓN O EXPLICACIÓN

Un punto singular es una región de la ecuación donde la función no es analítica, y como no es analítica no se puede escribir como serie de potencias

1. Obtenga los primeros términos de la solución de la ecuación diferencial de Airy

[pic 74]

1. [pic 75]

1. [pic 76]

1. [pic 77]

1. [pic 78]

PROPOSICION ENUNCIADO O EXPRESION MATEMATICA

RAZÓN O EXPLICACIÓN

A primera instancia, analicemos los puntos ordinarios o singulares de la ecuación diferencial.

Escribimos la ecuación diferencial de forma canónica: [pic 79]

Puede verse a simple vista qué:  las cuales son continuas en todo el dominio.[pic 80]

Siendo entonces qué: x = 0 es un punto ordinario, lo que nos dice entonces que podemos expresar lo anterior en una series de potencias en torno a x = 0 de la solución de la ecuación diferencial.

La solución entonces tendrá la forma:

[pic 81]

Solucionemos la ecuación diferencial de Airy.

De acuerdo a lo dicho anteriormente, xo = 0 es un punto ordinario de la ecuación diferencial, y ya que no hay singularidad, la ecuación admite dos soluciones de la forma de Mclaurin en los reales, de la forma:

[pic 82]

Donde, los coeficientes Cn vienen dado de la forma:

[pic 83]

Donde,  es la derivada n-ésima evaluada en x = 0[pic 84]

Dadas las condiciones iniciales que nos dieron en el planteamiento del ejercicio, tenemos qué:

[pic 85]

[pic 86]

Calculemos los demás coeficientes Cn

Partiendo de la ecuación diferencial, se tiene qué:

[pic 87]

[pic 88]

[pic 89]

[pic 90]

[pic 91]

[pic 92]

[pic 93]

[pic 94]

[pic 95]

[pic 96]

[pic 97]

[pic 98]

… y así sucesivamente.

Con base en los resultados, se tiene qué:

[pic 99]

Reemplazando dados los coeficientes encontrados:

[pic 100]

[pic 101]

La respuesta correcta es C.