ALGUNAS FUNCIONES ESPECIALES

ALGUNAS FUNCIONES ESPECIALES

1. Funciones Bessel.

En muchos problemas de ciencias e ingeniería, es necesario seleccionar un sistema de coordenadas apropiado para resolver las ecuaciones diferenciales que describen determinado fenómeno. Un caso de particular interés es la transformación a coordenadas cilíndricas, por la gran cantidad de fenómenos que existen con esta geometría, como es el caso de la mecánica de un fluido en una tubería circular, la transferencia de calor alrededor de un alambre, la transferencia de materia desde y hacia un electrodo cilíndrico, por mencionar algunos ejemplos.

En todos los casos anteriores -y en muchos otros- la ecuación diferencial que los describe, puede ser reescrita en la siguiente forma, la cual se conoce como ecuación de Bessel:

1. (escribir aquí la ecuación)

Resuelva esta ecuación para el caso en el que la constante es igual a cero, utilizando la transformada de Laplace:

1. Aplique la transformada de Laplace a la ecuación de Bessel de orden cero para reescribirla como una ecuación diferencial lineal en el espacio de Laplace.
2. Resuelva esta ecuación diferencial para encontrar Y(s).
3. Haga una expansión en serie de potencias negativas de s.
4. Aplique la transformada inversa de Laplace para regresar al espacio real.
5. Escriba la solución usando la notación de sumatoria.

Regrese a la ecuación diferencial general (para cualquier valor de la constante) y resuélvala mediante el método de series de potencias:

1. Proponga la solución como una serie de potencias.
2. Sustitúyala en la ecuación y agrupe los términos con la misma potencia de x.
3. Escriba las relaciones de recurrencia.
4. Escriba la solución general usando la notación de sumatoria.

*Todo esto ya lo hicimos en clase para el caso n=0.

1. Polinomios de Hermite.

La interacción entre dos átomos, frecuentemente se representa mediante el potencial de Lennard Jones, que representa la energía potencial como función de la distancia:

1. (escribir aquí la expresión del potencial de Lennard Jones).
2. (insertar aquí una gráfica del potencial de Lennard Jones).

El mínimo de potencial representa la posición de equilibrio, es decir, la distancia de separación entre los átomos a la cual “prefieren” estar, en donde no se siente repulsión ni atracción. Si se representa mediante este potencial la interacción entre átomos de una molécula, esta sería la distancia de enlace.

Para describir las oscilaciones alrededor de esta posición de equilibrio y determinar así, las frecuencias características, es decir, el espectro infrarrojo de una molécula, se modela el fondo de este potencial como un potencial armónico (una parábola). Un potencial armónico corresponde al modelo de masas y resortes que se emplea frecuentemente para describir las vibraciones moleculares. Pero dado que este modelo de masa y resorte se está aplicando a un sistema atómico, es necesario resolverlo usando mecánica cuántica.

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