TEMA 2 MEDIDAS DE CENTRALIZACIÓN

TEMA 2

MEDIDAS DE CENTRALIZACIÓN

2.1 Características de las medidas de posición central.

2.2 Medidas de centralización: media aritmética, mediana y moda. Propiedades. Relación entre media, mediana y moda.

2.3 Cuantiles: cuartiles, deciles y percentiles.

2.4 Medias geométrica, armónica.

INTRODUCCIÓN

En este tema y los dos siguientes vamos a obtener unos números que cuantifiquen las propiedades fundamentales de la distribución de frecuencias. Estos números podemos clasificarlos en:

 Medidas de localización (posición). Son coeficientes de tipo promedio que tratan de representar una determinada distribución, pueden ser de dos tipos:

1.-CENTRALES:

-Medias:

 Aritmética

 Geométrica

 Armónica

-Medianas

-Moda

2.-NO CENTRALES:

-Cuantiles:

 Cuartiles

 Deciles

 Centiles o percentiles

 Medidas de dispersión.

Son complementarias de las de posición en el sentido que señalan la dispersión en conjunto de todos los datos de la distribución respecto de la medida o medidas de localización adoptadas.

-Medidas de dispersión absoluta: Recorrido

-Medidas de dispersión relativa: Recorrido intercuartílico, desviación media, varianza, desviación típica.

-Coeficiente de variación PEARSON.

-Diagrama de caja.

 Medidas de forma

Estudian la asimetría- simetría y deformación (apuntamiento, aplastamiento) respecto de una distribución modelo denominada distribución NORMAL

Coeficiente de asimetría y coeficiente de Curtosis.

 Medidas de concentración

Estudian la concentración de una distribución frente a la uniformidad.

INDICE DE GINI, CURVA DE LORENZ.

2.1 CARACTERÍSTICAS DE LAS MEDIDAS DE POSICIÓN CENTRAL.

Las medidas de posición son promedios y pueden ser de tendencia central o no, las más importantes son las que hemos indicado en la introducción, esto es: media, mediana, moda y los cuantiles.

2.2 MEDIDAS DE CENTRALIZACIÓN: MEDIA ARITMÉTICA, MEDIANA Y MODA. PROPIEDADES. RELACIÓN ENTRE MEDIA, MEDIANA Y MODA.

MEDIA ARITMÉTICA: Es la suma de todos los valores de la variable dividida entre el número total de elementos.

Si el valor xi de la variable X se repite ni veces, aparece en la expresión de la media aritmética de la forma:

, que será la expresión que consideraremos definitiva de la media aritmética.

Como otra posible expresión será

Ejemplo: Si tenemos la siguiente distribución, se pide hallar la media aritmética, de los siguientes datos expresados en kg.

xi ni xi ni

54 2 108

59 3 177

63 4 252

64 1 64

10 601

kg

NOTA: A la media aritmética se la denomina también CENTRO DE GRAVEDAD de la distribución.

Si la variable esta agrupada en intervalos (variable continua), se asignan las frecuencias a las marcas de clase y se procede como si la variable fuera discreta. En el futuro consideraremos indistintamente  ci = xi

Ejemplo:

[Li-1,Li)

xi = ci ni ci ni

[30 , 40) 35 3 105

[40 , 50) 45 2 90

[50 , 60) 55 5 275

10 470

MEDIA ARITMÉTICA PONDERADA: En ocasiones no todos los valores de la variable tienen el mismo peso. Esta importancia que asignamos a cada variable, es independiente de la frecuencia absoluta que tenga. Será como un aumento del valor de esa variable, en tantas veces como consideremos su peso.

Es la media aritmética que se utiliza cuando a cada valor de la variable (xi) se le otorga una ponderación o peso distinto de la frecuencia o repetición. Para poder calcularla se tendrá que tener en cuenta las ponderaciones de cada uno de los valores que tenga la variable

Se la suele representar como:

Siendo wi la ponderación de la variable xi y la suma de todas las ponderaciones.

Ejemplo: Un estudiante realiza 3 exámenes de complejidad creciente, obteniendo los siguientes resultados: 5, 8 y 7.

El primer examen lo hizo en ½ hora, el segundo en 1 hora y el tercero en hora y media, por lo que se les atribuye una ponderación de 1, 2 y 3 respectivamente. Se pide calcular la nota media.

Xi ni Wi xi wi

5 1 1 5

8 1 2 16

7 1 3 21

3 N = 6 42

Si calculamos la media aritmética tendremos

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