TEORIA DE PEQUEÑAS MUESTRAS O TEORIA EXACTA DEL MUESTREO

TEORIA DE PEQUEÑAS MUESTRAS O TEORIA EXACTA DEL MUESTREO

En las unidades anteriores se manejó el uso de la distribución z, la cual se podía

utilizar siempre y cuando los tamaños de las muestras fueran mayores o iguales

a 30 ó en muestras más pequeñas si la distribución o las distribuciones de

donde proviene la muestra o las muestras son normales.

En esta unidad se podrán utilizar muestras pequeñas siempre y cuando la

distribución de donde proviene la muestra tenga un comportamiento normal.

Esta es una condición para utilizar las tres distribuciones que se manejarán en

esta unidad; t de student, X2

ji-cuadrada y Fisher.

A la teoría de pequeñas muestras también se le llama teoría exacta del

muestreo, ya que también la podemos utilizar con muestras aleatorias de

tamaño grande.

En esta unidad se verá un nuevo concepto necesario para poder utilizar a las

tres distribuciones mencionadas. Este concepto es “grados de libertad”.

Para definir grados de libertad se hará referencia a la varianza muestral:

( )

1

1

2

2

-

-

=

å=

n

x x

s

n

i

i

Esta fórmula está basada en n-1 grados de libertad (degrees of freedom). Esta

terminología resulta del hecho de que si bien s2

está basada en n cantidades

,

1

x - x ,

2

x - x . . . , x x,

n - éstas suman cero, así que especificar los valores de

cualquier n-1 de las cantidades determina el valor restante. Por ejemplo, si n=4 y

x1 - x = 8; x2 - x = -6 y x4 - x = -4 , entonces automáticamente tenemos

x3 - x = 2 , así que sólo tres de los cuatro valores de x x i - están libremente

determinamos 3 grados de libertad.

Entonces, en esta unidad la fórmula de grados de libertad será n-1 y su

simbología n = nu.

DISTRIBUCION “t DE STUDENT”

Supóngase que se toma una muestra de una población normal con media m y

varianza s

2

. Si x es el promedio de las n observaciones que contiene la muestra

aleatoria, entonces la distribución

n

x

z

s

- m

= es una distribución normal estándar.

Supóngase que la varianza de la población s

2

es desconocida. ¿Qué sucede con

la distribución de esta estadística si se reemplaza s por s? La distribución t

proporciona la respuesta a esta pregunta.

La media y la varianza de la distribución t son m = 0 y ( 2)

2 s = u u - para n>2,

respectivamente.

La siguiente figura presenta la gráfica de varias distribuciones t. La apariencia

general de la distribución t es similar a la de la distribución normal estándar:

ambas son simétricas y unimodales, y el valor máximo de la ordenada se

alcanza en la media m = 0. Sin embargo, la distribución t tiene colas más amplias

que la normal; esto es, la probabilidad de las colas es mayor que en la

distribución normal. A medida que el número de grados de libertad tiende a

infinito, la forma límite de la distribución t es la distribución normal estándar.

Propiedades de las distribuciones t

1. Cada curva t tiene forma de campana con centro en 0.

2. Cada curva t, está más dispersa

...