ACTIVIDAD 8, Algebra, UVM

6. ¿Qué es la dimensión de un espacio vectorial?

La dimensión es el máximo número de vectores independientes que podemos tener en el espacio, se puede decir también que es el máximo rango que puede tener un conjunto de vectores de dicho espacio.

7. ¿Qué es un espacio vectorial?

Es un conjunto de vectores en un espacio que conforman V, junto con dos operaciones binarias llamadas suma y multiplicación por un escalar y que cumplen los siguientes diez axiomas:

1-     Si X pertenece a V y Y pertenece a V, entonces X+Y pertenece a V.

2-      Para todo X, Y y Z en V, (x+y)+z = x(y+z).

3-     Existe un vector |0 pertenece V tal que para todo X pertenece a V, X+0=0+X=X.

4-     Si x pertenece a V, existe un vector –x en V tal que x+(-x)=0.

5-     Si X y Y están en V, entonces x+y=y+x.

6-     Si x pertenece a V y aes un escalar, entonces ax pertenece a V.

7-     Si X y Y están en V y aes un escalar, entonces a(x+y)= ax +ay

8-     Si X pertenece a V y ayb son escalares, entonces (a+b)x= ax+by.

9-     Si X pertenece a V y a y b son escalares, entonces a(bx) = (ab)x.

10-   Para cada vector X pertenece a V, 1x = x.

8. ¿Qué es un subespacio vectorial?

Cuando se tiene un subconjunto no vacío que pertenece a un espacio vectorial, este es considerado un subespacio si es que tiene las mismas operaciones definidas en el espacio vectorial. Se debe tener en cuanta que estos deben cumplir con ciertas condiciones que a continuación se enlistan:

• 0V0V está en WW.
•  Si uu y vv están en WW, entonces u+vu+v está en WW.
•  Si uu está en WW y kk es un escalar, kuku está en WW.

9. ¿Qué es la independencia lineal?

Siempre y cuando los vectores tengan distinta dirección y sus componentes no sean proporcionales, estos serán considerados como vectores linealmente independientes.

Se debe tener en cuenta los siguientes criterios para que un vector sea independiente.

• Los vectores son linealmente dependientes si el sistema Ax=0 tiene soluciones no triviales (solución múltiple).
• Si k=n
  Los vectores son linealmente independientes si A es invertible
• Si k>n
  Los vectores son linealmente dependientes.
• Dos vectores en un espacio vectorial son linealmente dependientes si uno de ellos es múltiplo escalar del otro.

10. ¿Qué es la dependencia lineal?

Cuando existe combinación linean entre los vectores que da el vector cero donde por lo menos un coeficiente es diferente de cero

11. ¿Cuál es el concepto de transformación lineal?

Las transformaciones lineales son funciones entre conjuntos, funciones que preservan la suma y la multiplicación por escalares.

12. ¿Qué significa producto interno?

Es una aplicación entre el conjunto de todos los pares de vectores (u,v) y  cuyo resultado es un numero real que satisface las propiedades que a continuación se enlistan:[pic 1]

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