APLICACIONES A LA ECONOMÍA

APLICACIONES A LA ECONOMÍA.

Función costo.

En el caso de la función costo total Q(x) no se puede encontrar un valor mínimo en el primer cuadrante, ya que al ser creciente y no negativa entonces su primera derivada también es no negativa y, por tanto, no se anula en un valor positivo para x: Es necesario encontrar una relación entre el costo promedio y el costo marginal, que nos ayude a determinar la producción del mayor número de unidades, de manera que éstas se produzcan con un costo por unidad mínimo; por lo anterior surge la siguiente Propiedad Si una función costo es estrictamente creciente, positiva y convexa, entonces el costo marginal Q0(x) es igual al costo promedio q(x) en un punto x en el cual q(x) es mínimo, es decir ,en donde se produce un costo por unidad mínimo.

Demostración :

La función costo total se representa por

Q(x);

la función costo promedio (costo por unidad) se representa por

q(x) =

Q(x)

x

;

y la función costo marginal se representa por

dQ(x)

dx

= Q0(x):

Es claro que la derivada de la función costo promedio se anula si y sólo si,

Q(x)

x

= Q0(x):

Por lo que hay un punto crítico en donde q(x) = Q0(x).

Es fácil veri…car que

d2q(x)

dx2 =

x3Q00(x)

x4 =

Q00(x)

x

> 0;

basándose en que xQ0(x) = Q(x):

Ahora, como x > 0 y Q00(x) > 0 por hipótesis, entonces existe un mínimo en el punto en

donde el costo marginal y el costo promedio son iguales, es decir, las curvas del costo marginal

y del costo promedio se cortan en el punto mínimo del costo promedio.¥

ejemplo:

El costo total de la producción de x unidades de cierto producto se describe por medio de

la función Q(x) = 100; 000 + 1; 500x +0:2x2; donde Q(x) representa el costo total, expresado

en pesos.

a) Determinar cuántas unidades x deberán de fabricarse a …n de minimizar el costo promedio

por unidad.

b) Demostrar que el costo promedio y el costo marginal son iguales en ese punto.

c) Gra…car la función costo promedio y la función costo marginal.

Solución:

El costo promedio está dado por q(x) = 100;00x +1;500+ 0:2x

y la derivada del costo promedio por

q0(x) = ¡

100; 000

x2 + 0:2;

así, q0(x) es igual a cero, si y sólo si,

x = §707:11 productos,

pero como x representa producción entonces se considera solamente x = 707:11; como punto crítico.

Ahora la segunda derivada del costo promedio es

q00(x) =

200; 000

x3 ;

y al sustituir el valor de x; en esta expresión, se tiene que,

q00(707:11) = 0:0005659 > 0;

por tanto, existe un costo promedio mínimo

...