Ecuaciones diferenciales de segundo orden reducibles a primer orden se les conose a las Ecuación de Bernoulli que son de la forma [pic 1] Solución general de ecuaciones diferenciales de segundo orden
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Las ecuaciones diferenciales ordinarias lineales son de gran importancia tanto teórica como práctica. En la práctica las ecuaciones diferenciales ordinarias se aplican en las ciencias e ingeniería. Para esta unidad 2, se darán a conocer métodos importantes de aquellas ecuaciones diferenciales de segundo orden y de orden n. Una ecuación de segundo orden generalmente se describe como sigue: y’’ + P(x) y’ + Q(x) y = R(x)(1) Una ecuación de orden n se escribirá de la siguiente forma: a0(x)yn + a1(x)yn-1 + … + an-1(x)y’ + an(x)y = R(x)(2) Dondea0,a1,…, an y R son funciones reales continuas en el intervalo cerrado [a, b]. Ahora miremos un teorema importante para determinar la solución de una ecuación diferencial. Teorema: Si Yc es la solución general de la ecuación diferencialreducida y’’ + P(x) y’ + Q(x) y = 0, y Yp es una solución particular de la ecuación diferencial y’’ + P(x) y’ + Q(x) y = R(x), entonces Yc + Yp es la solución general de (1). Por analogía del algebra lineal la solución: C1 Yc(x) + C2 Yp(x) Se dice es una combinación lineal de las soluciones Ycy Yp. Por lo tanto cualquier combinación lineal de dos soluciones de la ecuación diferencial (2) es también solución. Definición: Si Ycy Yp son soluciones linealmente independientes de la ecuación diferencial y’’ + P(x) y’ + Q(x) y = 0, en un intervalo [a, b], entonces C1 Yc(x) + C2 Yp(x) es la solución general de la ecuación diferencial y’’ + P(x) y’ + Q(x) y = 0. Para determinar si las soluciones son linealmente independientes se introduce el concepto de Wronskiano de estas funciones. Teorema: Si f1, f2,…,fnson n soluciones de la ecuación diferencial homogénea, y cada función real f es derivable hasta el orden n-1 en el intervalo [a, b], entonces el determinante: [pic 2] Se llama Wronskiano. Teorema: Dos soluciones y1 y y2 de la ecuación y’’ + P(x) y’ + Q(x) y = 0, en[a, b] son linealmente independientes si y solo si su Wronskiano es diferente de cero. Si el Wronskiano es igual a cero las soluciones son linealmente dependientes. Ejemplo: Probar que y= c1sen x + c2cos x es la solución de y’’ + y = 0 sobre cualquier intervalo y halle la solución particular si y(0)=1 e y’(0)=2. Solución: Hacemos a y1=sen xy y2=cos x que son soluciones y se comprueba reemplazando en la ecuación diferencial. Ahora se prueba que son linealmente independientes con el Wronskiano. [pic 3] Como es diferente de cero entonces las soluciones son linealmente independientes. Ahora hallamos una solución particular reemplazando los datos dados en la ecuación diferencial: c1sen 0 + c2cos 0 =1 c1cos 0 – c2 sen 0 =2 Entonces tenemos que C1= 1 y C2= 2, luego la solución particular será y = sen x + 2cos x | 