Algoritmo Newton generalizado

2.3 Algoritmo Newton generalizado para resolver sistemas de ecuaciones NO lineales

a. Planteamiento general del problema

Sin pérdida de generalidad trabajemos con un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas No lineales:

f1(x, y)=0

f2(x, y)=0

[pic 1]

donde las funciones f1 y f2 son continuas y diferenciables, de modo que puedan expandirse en serie de Taylor. Es decir:

[pic 2]

donde f(x, y) se ha expandido alrededor del punto (a, b) y todas las derivadas parciales  están evaluadas en (a, b).

b. Método de Newton-Raphson generalizado (o Newton Raphson multivariable)

        Expandiendo f1 alrededor de (xk, yk):

[pic 3]

Donde todas las derivadas parciales están evaluadas en (xk, yk).

Del mismo modo podemos expandir f2:

[pic 4]

Igualmente, todas las derivadas parciales están evaluadas en (xk, yk)

Supongamos que (xk+1, yk+1) está cerca de la raíz (x*, y*) tal que los primeros miembros de las ecuaciones anteriores son casi cero.

Además, asumamos que (xk, yk) esta tan cerca de (xk+1, yk+1) que pueden omitirse los términos a partir de los que se encuentran agrupados en paréntesis rectangulares. Luego las ecuaciones anteriores quedarían simplificadas:

[pic 5]               

[pic 6]

(2.1)

Para una mejor simplificación denotemos:

[pic 7]

[pic 8]

Y así queda la (k+1)-ésima iteración en términos de la k-ésima:

[pic 9]

[pic 10]

(2.2)

Sustituyendo tenemos en el sistema (2.1) tenemos:

[pic 11]               

[pic 12]

(2.3)

El cual es un sistema de ecuaciones lineales con las incógnitas h y j. Note que las derivadas parciales están evaluadas en (xk, yk), es decir, son números reales.

Este sistema de ecuaciones lineales resultante tiene solución única, siempre que el determinante de la matriz de coeficientes o matriz Jacobiana no sea cero, esto es:

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