Analisis De Circuitos Laplace
Enviado por cristianolguin • 21 de Abril de 2013 • 1.855 Palabras (8 Páginas) • 820 Visitas
APLICACIÓN DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE A LOS CIRCUITOS ELÉCTRICOS
En las anteriores secciones se han estudiado varios conceptos teóricos referentes a la transformada de Laplace, sin embargo, nuestro objetivo fundamental, es tomar ésta teoría y aplicarla en la resolución de problemas de ingeniería y mas específicamente en el análisis de circuitos eléctricos.
Por tal motivo, en esta sección se presentarán ejemplos que sean claros y lo suficientemente generalizables, para que el estudiante pueda mas tarde llevar a cabo problemas similares ó con algún grado de dificultad superior.
El primer paso, será aprender la transformada que está asociada a cada parámetro ó componente eléctrica:
EL PARÁMETRO RESISTIVO
EL PARÁMETRO INDUCTIVO
EL PARÁMETRO CAPACITIVO
FUENTES
Como segunda instancia, se aprenderán a resolver circuitos que contengan los anteriores parámetros, e involucren corrientes, voltajes y condiciones iniciales:
CIRCUITO RL SERIE CON FUENTE DC
CIRCUITO RC SERIE CON FUENTE DC
CIRCUITO RLC SERIE CON CONDICIONES INICIALES
CIRCUITO RLC PARALELO CON CONDICIONES INICIALES
Estudiamos un caso de superposición resuelto con transformada de Laplace:
SOLUCIÓN POR SUPERPOSICIÓN
Finalmente, dos ejemplos que involucran conceptos de esta sección y de todo el capitulo:
EJEMPLO 1
EJEMPLO 2
EL PARÁMETRO RESISTIVO
La transformada de Laplace en un circuito meramente resistivo, no tiene efecto sino en las funciones de voltaje y corriente:
cuya transformada es:
Estos resultado se pueden observar en la figura:
PARÁMETRO INDUCTIVO
Observe la figura, y detalle que para una inductancia L en Henrys, que posee una corriente inicial de i (0+) A en la dirección de la corriente i (t), se transforma en el dominio de s como una impedancia sL en ohmios, en serie con una fuente de voltaje cuyo valor en s es Li (t) y que va en la dirección de la corriente I(s).
La ecuación que describe el comportamiento del inductor en el dominio del tiempo es:
cuya respectiva transformada es:
En la siguiente figura, digite el valor en herios en enteros entre 1 y 999 ó decimales de un dígito entero y una cifra significativa, luego oprima OK y mostrará el resultado transformado en ohmios. Con la tecla LIMPIAR se refrescará la pantalla.
PARÁMETRO CAPACITIVO
La figura que se observa en esta sección, muestra una capacitancia de C farads en el dominio del tiempo; en el dominio de s, ésta se transforma en una impedancia y una fuente de voltaje en serie oponiéndose a la corriente i (t), cuyos valores se observan también en dicha figura:
En el dominio del tiempo se tiene:
transformamos esta ecuación, y obtenemos:
la figura inferior muestra si dibujáramos la condición inicial en el dominio del tiempo.
En la siguiente figura, digite el valor en Faradios en enteros entre 1 y 999 ó decimales de un digito entero y una cifra significativa. Cuando oprima OK, se muestra el respectivo valor en ohmios en el dominio de s. Con la tecla LIMPIAR se refresca la pantalla.
FUENTES
En cuanto a fuentes, la transformada depende de la función que caracterice a dicha fuente, para ver la transformadas comunes de funciones oprima aquí. Otra herramienta que debemos aprender, es el intercambio de fuentes:
En la primera figura, se cumple:
despejamos I(s):
CIRCUITO RL SERIE CON FUENTE DC
Considere el circuito de la figura:
La ecuación diferencial que resulta de hacer LVK, es:
sometiendo esta ecuación a la transformada de Laplace, obtenemos:
De esta ecuación despejamos I(s):
Ahora, cambiamos la forma del denominador para realizar un procedimiento de fracciones parciales:
hallamos el coeficiente A, igualando s a cero:
hallamos el coeficiente B, igualando s a , y reemplazamos los valores:
finalmente, aplicamos transformada inversa de Laplace, para que la respuesta esté en el dominio del tiempo:
CIRCUITO RC SERIE CON FUENTE DC
Observe la siguiente figura:
La ecuación integral que resulta de hacer LVK, es:
aplicando transformada de Laplace:
despejamos I(s):
Si observamos detenidamente esta última ecuación, nos damos cuenta que podemos aplicar directamente la transformada inversa de Laplace:
Este resultado generaliza la respuesta en el dominio del tiempo para este tipo de circuitos.
CIRCUITO RLC SERIE CON CONDICIONES INICIALES
Considere el circuito de la figura, donde la corriente inicial del inductor es amperes, y el voltaje inicial en el condensador es volts, con la polaridad indicada:
Si aplicamos LVK, obtenemos la ecuación integro-diferencial:
le aplicamos transformada de Laplace, y se obtiene:
arreglamos esta ecuación, de tal forma que se pueda ver de forma mas clara:
El primer factor de esta ecuación corresponde a la función del sistema, mientras que el segundo factor corresponde a la función de excitación. De acuerdo a lo anterior, el primer factor puede ser expresado de la siguiente forma:
en Siemens.
Y dada la relación entre admitancia e impedancia:
podemos deducir que:
ahora, dejamos todo en una sola fracción:
Si detallamos la última ecuación escrita, y la relacionamos con la ecuación donde está despejada I(s), veremos que los ceros de Z(s) son los que en últimas determinan el comportamiento del circuito. Lo anterior,
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