Analisis Estructural

ANÁLISIS DE ELEMENTOS TIPO VIGA

Objetivo: Determinar la respuesta (fuerzas internas y deformaciones) en elementos tipo viga.

Los modelos estudiados hasta ahora involucraban la estabilidad y equilibrio externo de la estructura. Para completar el análisis se hace necesario el conocimiento de las fuerzas internas en cada uno de los elementos que componen el sistema estructural. En este caso nos referiremos a los elementos tipo viga.

Sabemos que en los elementos tipo viga las fuerzas internas involucran tres incógnitas: una fuerza axial, una fuerza cortante y un momento, por lo tanto conociendo las fuerzas de extremo y aplicando el método de las secciones en cualquier punto de la viga nos daría como resultado un tramo de viga estáticamente determinado con tres ecuaciones estáticas disponibles y tres incógnitas por determinar. Observemos que la clave es conocer las fuerzas de extremo de elemento, es decir, aquellas que se ejercen en las uniones con otros elementos pertenecientes al sistema estructural y de ahí proceder a determinar las fuerzas internas por la estática. Podemos concluir que el elemento a analizar es estáticamente determinado así pertenezca a un sistema indeterminado.

Esto explica porque la metodología y el objetivo de los métodos de análisis es determinar las fuerzas de unión y de ahí seguir con el análisis independiente de cada elemento.

Teniendo en cuenta estas consideraciones podemos aislar un elemento tipo viga, considerarlo con sus fuerzas extremas como fuerzas de reacción y analizarlo hasta encontrar las fuerzas internas:

Notemos que al partir el elemento una sección ejerce sobre la otra fuerzas equivalentes a un apoyo de empotramiento, podemos decir, que las conexiones que se generan a lo largo del elemento son uniones rígidas y las fuerzas en cada sección son iguales y de sentido contrario.

Para el estudio de los elementos tipo viga se utilizará la siguiente convención:

Cortante: Las fuerzas cortantes positivas son aquellas que producen una rotación horaria del elemento

Momento: Los momentos positivos son aquellos que producen concavidad hacía arriba en el elemento horizontal o tracciones en la fibra inferior. Para elementos verticales esta convención se puede complicar un poco por lo tanto regirá el criterio de dibujar el diagrama de momentos para la cara traccionada.

Fuerza axial: Se considera una fuerza axial positiva cuando ella implica tracción en el elemento.

Las acciones de las fuerzas internas en vigas se ilustran mejor por medio de diagramas de fuerza axial (P), diagramas de fuerza cortante (V) y diagramas de momento flector (M). Los diagramas representan la variación de estas fuerzas a lo largo del elemento, dibujando en las abcisas la longitud del elemento y en las ordenadas el valor de la fuerza interna. Para axial y cortante los valores positivos se dibujan por encima del elemento pero para los momentos se dibujará el diagrama para el lado traccionado del elemento, así, si el elemento es horizontal el lado positivo del diagrama estará para abajo. La convención para momentos rige para cualquier ubicación de este en el espacio y es independiente del origen escogido, ya sea este en el extremo derecho o izquierdo del elemento.

Relación entre momento cortante y carga

En el caso de cargas distribuidas actuando perpendicular al elemento se puede encontrar una relación con las fuerzas internas de cortante y momento por medio del siguiente análisis de una sección infinitesimal del elemento.

Aplicando equilibrio a la sección de viga indicada tenemos:

integrando a ambos lados, tenemos:

la variación del cortante en un tramo de viga dado es igual al área bajo la curva de carga. (note que el equilibrio se hizo con la carga negativa, por lo tanto no se debe involucrar otra vez su signo en la ecuación).

dividiendo por dL a ambos lados tenemos:

, donde podemos decir que la pendiente a la curva del diagrama de cortante es igual al negativo de la carga distribuida.

Ahora con la ecuación de momentos tenemos:

considerando una longitud muy pequeña del trozo de viga analizado, el término con dL2 se aproxima a cero, y la ecuación nos queda

integrando:

de donde la segunda integral representa el área bajo la curva del diagrama de cortantes en un tramo de viga dado y podemos concluir que la variación del diagrama de momentos en un tramo de vigas es igual al área bajo la curva del diagrama de cortante.

Dividiendo a ambos lados por dL, tenemos:

donde la pendiente del diagrama de momentos en cualquier punto es igual al valor del cortante en ese punto.

Ejercicios

Dibujar los diagramas de cortante, momento y curva elástica tentativa:

Para los diagramas de momento se verificará la convención haciendo el ejercicio ubicando el origen en ambos extremos del elemento. Determinar en cada caso el eje coordenado de las ordenadas de la gráfica de momentos.

De que depende la orientación del eje de momentos?. Es esta única para un elemento dado?.

Podría determinar una manera fácil de orientar los ejes en elementos verticales y horizontales de acuerdo con la convención fijada. Cómo sería esa orientación en un marco?.

En las estructuras tipo marco se sugiere trabajar encontrando primero las fuerzas de extremo de los elementos y después aplicar equilibrio a cada uno. Con estos ejercicios se pretende que el estudiante tomo conciencia de los momentos de continuidad en los nudos.

Viga simplemente apoyada:

Tomaremos el ejemplo de un elemento simple, con fuerzas de extremo equivalentes a uniones de articulación.

Se pide encontrar los diagramas de momento y corte.

Se debe partir por encontrar las fuerzas de extremo del elemento y se recalca que el elemento, así pertenezca a un sistema estructural compuesto, debe estar en equilibrio estático, cumplir con las ecuaciones de equilibrio, considerando tanto las fuerzas de extremo o unión al sistema como las fuerzas externas actuando sobre él.

 Fuerzas de reacción:

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