Analisis grafico. Introducción teórica

Análisis gráfico.

Objetivo:

El alumno determinará la relación que existe entre dos variables mediante el uso del papel milimétrico y haciendo uso del papel logarítmico.

Introducción teórica:

La mayoría de las ecuaciones empíricas con las cuales trabaja un ingeniero o  científico, se encuentran a partir de un conjunto de datos obtenidos experimentalmente. Las técnicas usadas para encontrar la ecuación empírica (si existe) llegan a ser bastante complejas.
Una de las técnicas más simples que se emplean consiste en graficar los datos experimentales y, por inspección de la gráfica, se determina la función o ecuación empírica. El proceso de encontrar una ecuación a partir de una gráfica es llamado ajuste de curva.
Con frecuencia la gráfica de los datos indica claramente el tipo de ecuaciones o función que deberá de ajustarse (figura 9). De las ecuaciones empíricas o relaciones entre funciones correspondientes a problemas comunes en la física y en la ingeniería se aprecia que, efectivamente un gran número de cuenta olas se expresan por funciones del tipo y= Ax^m, pero, siendo un poco más riguroso en las observación de dicho caso, se destaca que los valores más frecuentes de m son 1,-1, 2,-2,1/2,-1/2, aunque m puede tomar valores muy diferentes a éstos.            

[pic 1]

Uno de los propósitos de los experimentos consiste en hacer mediciones que permiten establecer la relación matemática que satisfaga las variables propias del fenómeno en investigación. En este caso, por simple inspección de la gráfica puede concluirse si es de alguno de los tipos mostrados en la figura 9, y de ser así, la función no estará bien determinada mientras no se conozca el valor de A y el de m. Se observa que si la gráfica es una recta, m será igual a 1 y A será su pendiente, pero ?Como encontrar dichos valores en los demás casos? Para lograrlo se emplea la técnica del cambio de variable o, en problemas más complicados, la de graficar en papel logarítmico.

Cambio de variable.

Supongamos que en un experimento se obtuvo la tabulación de la tabla B:

La gráfica de estos valores se muestra en la figura 10, que el compararla con la figura 9, parece una curva con m>1

[pic 2]

El problema es encontrar la relación entre h y t, por inspección de la curva se deduce que y es proporcional a t elevada a alguna potencia mayor que 1, posiblemente a la potencia 2. Si esto último fuera cierto, la gráfica de y en función t^2 daría una recta pasando por el origen pues sería del tipo:

h= A (teta) ...... (1)   Dónde (teta)=t^2

A la sustitución de t^2 por (teta), se le llama cambio de variable, al efectuar este cambio se obtiene la tabla C.

La gráfica de esta tabulación se muestra en la figura 11, la cual es una recta y, por lo tanto, calculando su pendiente, resulta A=5 y la relación buscada es:

h=5(teta)

Pero como (teta)= t^2, se obtiene.

h=5t^2 ...... (2)

La ecuación (2) se representa en la gráfica de la figura 10 y es satisfecha por todos los pares de valores de la tabla B, por esto se le llama ecuación de interdependencia entre las variables gráficas h y t. Está ecuación es importante ya que, con su ayuda, podemos determinar valores de h para valores conocidos de t, solo sustituyendo en la ecuación, sin tener que hacer más experimentos, es decir, podemos hacer predicciones.

[pic 3]

Gráficas en papel logarítmico.

El método del cambio de variable es útil en el establecimiento de relaciones entre cantidades medidas en un experimento, sin embargo, en otras ocasiones, es preferible graficar en papel logarítmico (ver apéndice E). En este caso se obtienen directamente los valores de m y de A sin necesidad de hacer múltiples ensayos. Supóngase que en un experimento se obtuvo la tabulación que se muestra en la tabla D.

[pic 4]

En este caso la gráfica, en papel logarítmico, resultó ser una recta; lo que indica que Te y I tienen una relación no lineal, cuya expresión general es de la forma y= Ax^m.

En el papel milimétrico la pendiente es A. Ahora el exponente m es la pendiente de la recta, la cual se puede determinar por cualquiera de los siguientes métodos:

Primer método:

• Dibujar un triángulo cualquiera, quedando la recta como la hipotenusa (cómo se muestra en la figura 12)
• Medir con una escuadra o una regla, la altura y la base b del triángulo dibujado.
• Calcular la pendiente dividiendo la altura entre la base:

m= h/b

Aplicando la anterior a nuestro, tendremos:

m= 4.8 cm/ 9.6cm= .5 ... m= ½

Segundo método:

• Elegir dos puntos, contenidos estrictamente de Teo de la recta experimental, y obtener sus coordenadas.

P1 (X1, Y1); P2 (X2, Y2)

• Obtener el logaritmo, de cualquier base, de las coordenadas y sustituir en la ecuación de la pendiente en coordenadas logarítmicas. (Apéndice E):

m= logY2 - logY1 / log X2 - log X1

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