Analisis Grafico 2

Análisis grafico II

El alumno determinara la relación que existe entre dos variables mediante el uso del papel milimétrico y haciendo uso del papel logarítmico.

Introducción teórica:

En un experimento o proyecto de investigación, la representación de los resultados es parte muy importante. Al respecto, los datos colectados se aprecian con mayor facilidad en una gráfica que en una tabla, dado que un gráfico, ordena por si solo los datos y se observa a detalle los resultados obtenidos.

Las gráficas son muy utilizadas en economía, meteorología, ingeniería y otras ciencias. El físico puede conseguir información muy valiosa por el análisis de las gráficas que elabora con los datos de sus observaciones experimentales.

Al hablar de gráficas, llamamos curva a la línea que une los puntos. Está línea puede ser una recta, una línea quebrada o una curva, pero en todos los casos recibe el nombre de curva. En la presente práctica, las gráficas que se observan son curvas que no necesariamente unen todos los puntos, pero si pasan por la mayor cantidad de ellos, permitiéndonos así analizar la información requerida de cada momento.

Funciones y su representación gráfica.

Una función es un ente matemático constituido por tres componentes: un primer conjunto o condominio de la función; un segundo conjunto o condominio; y una regla dada de alguna manera que hace corresponder a cada elemento del dominio un único elemento en el condominio. No obstante, dos elementos del dominio, pueden tener el mismo elemento correspondiente en el condominio, pero no hay función si un mismo elemento del dominio tiene dos elementos que le corresponden en el condominio.

Sin embargo, es usual llamar función solamente a la regla de correspondencia, ya que en diversas ocasiones se entiende cuál es el dominio y cuál es el condominio sin hacer especial descripción de ellos.

Cuando hacemos la gráfica que relaciona dos cantidades, estamos representando función.

Se acostumbra a colocar en el eje de las ordenadas la variable dependiente y en el eje de las abscisas la variable independiente.

Cuando las dos cantidades representadas guardan relación constante, es decir, cuando son directamente proporcionales y, como su representación es una línea recta, se denominan funciones lineales.

Para indicar que la variable dependiente es directamente proporcional a la variable independiente se utiliza el símbolo α. Si queremos escribir estas relaciones en forma de ecuaciones, debemos anotar después del signo igual, una constante de proporcionalidad que es igual al valor cociente entre las dos cantidades.

Pendiente de una línea recta.

Cuando dos variables son proporcionales, el cociente entre ellas es constante y su representación gráfica es una recta. Si conocemos el valor de la constante, podemos escribir la ecuación que relaciona tales variables como: y=Axm.

Para encontrar la pendiente de una recta, basta tomar dos puntos sobre la misma, determinar sus coordenadas y encontrar la razón entre el avance vertical y horizontal (incremento sobre el eje vertical y horizontal respectivamente).

Esto es:

Δy= y_2-y_1 y Δx=x_2-x_1

La expresión ΔyΔx nos determina la pendiente de una recta. Por esta razón, en el análisis de las curvas damos dicha relación (ΔyΔx) el nombre de la pendiente.

m=(y_2-y_1)/(x_2-x_1 )=ΔyΔx

En la presente práctica, además de utilizar dicha expresión para calcular la pendiente de la recta, también se recurrió a la utilización de papel logarítmico, donde se trazaron las componentes en el eje horizontal y vertical a la recta obtenida con los datos de la tabulación.

La escala del papel logarítmico nos permitió medir directamente los valores de la longitud para ambas componentes y aplicando la expresión:

m= COCA donde: CO= cateto opuesto, (en este caso, la componente vertical).

CA= cateto adyacente (componente en el eje horizontal)

m= pendiente

Se obtiene el valor de la pendiente.

De esta manera se observa la importancia del papel logarítmico en la elaboración de gráficas.

Material.

1 Juego de 6 cilindros

1 Probeta

1 Vernier

1 juego de láminas cuadradas

1 Flexómetro

1 Balanza granataria

Papel milimétrico

Papel logarítmico

Desarrollo Experimental

Experimento I

Aplicación de la técnica de cambio de variable para la determinación del modelo matemático entre el volumen y el diámetro de un cilindro.

Desarrollo:

1.- Ocupamos una probeta para medir el volumen (en cm3) de cada uno de los 6 cilindros.

2.- Con el vernier medimos en cm el diámetro y la altura de cada uno de los cilindros.

3.- Se anotaron en orden cada una de las medidas de las cuales se obtuvieron sus respectivas incertidumbres.

Los datos que se obtuvieron los trasladamos a una tabulación como se muestra a continuación:

Tabla de resultados

Cilindro Volumen(cm3) ± 0.5 Diámetro(cm) ± 0.0025 Altura(cm) ± 0.0025

1 1 0.50 4.94

2 2 0.68 4.98

3 3 0.87 5

4 4 0.96 4.99

5 6 1.26 5.02

6 10 1.60 5.01

4.- Elaboramos una gráfica en papel milimétrico donde comparamos el volumen en contra del diámetro de los cilindros medidos. Ver gráfica 1.

Al observar la gráfica notamos que ésta resulta una curva con tendencia a y, la cual, comparándola con la familia de curvas del modelo matemático y=Axm donde las pendientes que pueden observarse son mayores a uno; observamos que:

La fórmula que se ocupa de calcular el volumen experimentalmente y la del modelo matemático son parecidas, considerando que las alturas de los cilindros en todos los casos son iguales.

y= Axm ≈ V= [ πH4 ] D2

Se puede observar en la comparación anterior que:

y=V (volumen), A= [ πH4 ] (constante) y xm = D2

De lo cual deducimos que el valor que se obtiene pera m es igual a 2.

Una vez conocido el valor de m=2 elevamos el valor de nuestros diámetros al cuadrado y procedemos a tabular.

Nuestra tabla quedo de la siguiente manera:

Tabla No. 2 |

Cilindro | Volumen(cm3) ± 0.5 | Diámetro(cm2) ± 0.0025 | Altura(cm) ± 0.0025 |

1 | 1 | 0.25 | 4.94 |

2 | 2 | 0.46 | 4.98 |

3 | 3 | 0.76 | 5 |

4 | 4 | 0.92 | 4.99 |

5 | 6 | 1.58 | 5.02 |

6 | 10 | 2.56 | 5.01 |

Elaboramos una grafica en papel milimétrico donde

...