CAPITULO 1 1.1. DISEÑO DE SISTEMAS DE CONTROL

CAPITULO 1

1.1. DISEÑO DE SISTEMAS DE CONTROL

El diseño del controlador depende para una especificación determinada de la calidad de control pueden diseñarse.

Diseño de la Respuesta en el Tiempo

Diseño por medio de lugar geométrico de las Raíces.

Diagrama del lugar geométrico de las raíces LGR.

La característica básica de la respuesta transitoria de los sistemas de lazo cerrado, está estrechamente ligada a la ubicación de los polos de lazo cerrado. Si el sistema tiene una ganancia variable, la ubicación de los polos de lazo cerrado depende del valor de la ganancia elegida. Por tanto, es importante que el diseñador conozca como se desplazan los polos del lazo cerrado en el plano s al variar la ganancia.

Desde el punto de vista del diseño, un simple ajuste de la ganancia puede desplazar los polos de lazo cerrado a las posiciones deseadas. Entonces el problema de diseño se puede convertir en la selección de un valor de ganancia. En este capítulo se tratarán problemas de diseño que incluyen la selección del valor de un parámetro partícular (usualmente la ganancia de lazo cerrado) de modo que las características de respuesta transitoria sean satisfactorias. Si el solo ajuste de la ganancia no brinda un resultado deseado, puede ser necesario agregar un compensador al sistema.

W. R. Evans desarrollo un método simple para hallar las raíces de la ecuación característica, denominado método del lugar de las raíces, consiste en un procedimiento en que se trazan las raíces de la ecuación característica para todos los valores de un parámetro del sistema. A menos que se especifique lo contrario, se supone que el parámetro que se va a variar a través de todos sus valores desde cero a infinito, es la ganancia k de la función de transferencia de lazo abierto.

1.2 Procedimiento para trazar el lugar geometrico de las raices(L.G.R)

1.2.1. Ubique los polos y ceros de G(s)H(s) en el plano s. Las ramificaciones del lugar geométrico de las raíces empiezan en los polos en lazo abierto y terminan en los ceros (ceros finitos o ceros en infinito) .A partir de la forma factorizada de la función de transferencia en lazo abierto, ubique los polos y los ceros en lazo abierto en el plano s. [Observe que los ceros en lazo abierto son los de G(s)H(s), en tanto que los ceros en lazo cerrado son los de G(s) y los polos de H(s)].

Observe que los lugares geométricos de las raíces son simétricos con respecto al eje real del plano s, debido a que los polos y ceros complejos sólo ocurren en pares conjugados.

Una gráfica del lugar geométrico de las raíces tendrá tantas ramificaciones como raíces tenga la ecuación característica. Dado que, por lo general, la cantidad de polos en lazo abierto, es mayor que la de ceros, la cantidad de ramificaciones es igual a la de los polos Si la cantidad de polos en lazo cerrado es igual a la cantidad de polos en lazo abierto, la cantidad de ramificaciones individuales del lugar geométrico de las raíces que terminan en los ceros finitos en lazo abierto será igual a la cantidad m de ceros en lazo abierto. Las n-m ramas restantes terminan en infinito los ceros (n-m ceros implícitos en infinito) a lo largo de las asíntotas.

1.2.2. Determine los lugares geométricos de las raíces sobre el eje real. Los lugares geométricos de las raíces sobre el eje real se determinan mediante los polos y los ceros en lazo abierto que se encuentran sobre él. Los polos y los ceros complejos conjugados de la función de transferencia en lazo abierto no afectan la ubicación de los lugares geométricos de las raíces sobre el eje real, porque la contribución del ángulo de un par de polos o ceros complejos conjugados es 360” sobre el eje real. Cada parte del lugar geométrico de las raíces sobre el eje real se extiende sobre un rango de un polo o cero a otro polo o cero. Al construir los lugares geométricos sobre el eje real, seleccione un punto en éste. Si la cantidad total de polos y ceros reales a la derecha de este punto de prueba es impar, este punto se encuentra en el lugar geométrico de las raíces El lugar geométrico de las raíces y su forma complementaria alternan segmentos a lo largo del eje real.

1.2.3. Determine las asíntotas de los lugares geométricos de las raíces. Si el punto de prueba s se ubica lejos del origen, se considera que no cambia el ángulo de cada cantidad compleja. Entonces, un cero en lazo abierto y un polo en lazo abierto cancelan los efectos del otro. Por tanto, los lugares geométricos de las raíces para valores de s muy grandes deben ser asintóticos para líneas rectas cuyos ángulos (pendientes) se obtengan mediante

en donde: n = número de polos finitos de G(s)H(s)

m = número de ceros finitos de G(s)H(s)

Aquí, k = 0 corresponde a las asíntotas con el ángulo más pequeño con respecto al eje real. Aunque k supone una cantidad infinita de valores, conforme aumenta, el ángulo se repite a sí mismo y la cantidad de asíntotas distintas es n - m.

Todas las asíntotas intersecan el eje real en un punto que se obtiene del modo siguiente:

Una ramificación del lugar geométrico de las raíces puede encontrarse en un lado de la asíntota correspondiente o puede atravesar ésta de un lado al otro.

1.2.4. Encuentre los puntos de ruptura de partida ( desprendimiento) y de llegada( ingreso). Debido a la simetría conjugada de

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