CARACTERISTICAS Y FINES DE LA DEMOSTRACION

La concepción formalista de la demostración matemática tiene sus raíces en la propia evolución histórica de la matemática. El programa de desarrollo axiomático de la geometría iniciado por Euclides hace más de dos mil años aparece como el primer intento sistematizado de dar una base axiomática al proceso de construcción del conocimiento matemático.

El surgimiento en el siglo XIX de las geometrías no euclidianas – que, pese a contener axiomas que aparecen como intuitivamente no evidentes, son tan consistentes, tan coherentes en su desarrollo lógico como la propia geometría euclidiana - representó un logro histórico importante en la evolución del pensamiento matemático hacia posiciones formalistas. Pero las posiciones formalistas extremas han exagerado el aspecto sintáctico de los sistemas axiomáticos. Para evitar las contradicciones lógicas que, a veces, ha propiciado el uso de la intuición, se pone el acento en los aspectos sintácticos, en detrimento de los semánticos. Se evita la significación de los términos matemáticos, que aparecen como meros elementos simbólicos de un sistema formal. Se acude al uso de reglas formales, definidas dentro del mismo sistema, que se pueden aplicar de una manera mecánica, algorítmica. La demostración se reduce a un procedimiento algorítmico que podría desarrollarse de forma automatizada, mediante el uso de ordenadores.

Frente a los problemas existentes en los fundamentos de la matemática a principios del siglo XX, el programa de Hilbert tenía como finalidad dar una descripción axiomática completa de las matemáticas. El propuso basarse en todas las teorías existentes para formar un conjunto de axiomas finito y completo, y proveer prueba de que esos axiomas eran consistentes. El matemático alemán planteó que la consistencia de sistemas más complicados, como el análisis real, podrían ser probados en términos de sistemas más simples. Últimamente, la consistencia de toda la matemática puede ser reducida a aritmética básica.

No obstante los teoremas de incompletitud , formulados por el matemático astro-húngaro Kurt Gödel, demostraron en 1931 que el programa de Hilbert era inalcanzable. En su primer teorema mostró que cualquier sistema consistente con un conjunto computable de axiomas el cual es capaz de expresar aritmética nunca puede ser completo: es posible construir una afirmación que puede ser demostrada como verdadera, pero no puede ser derivada de las reglas formales del sistema. En su segundo teorema, Gödel mostró que un sistema como aquel no podría probar su propia consistencia, de modo que tampoco puede ser usado para probar la consistencia de nada más fuerte. Esto contradijo la suposición de Hilbert de que un sistema finitista podía ser usado para probar la consistencia de una teoría más fuerte.

Una de las historias que produjo polémicas al principio de siglo XX fue la hipótesis del continuo de Cantor. La hipótesis del continuo afirma que no existen conjuntos con cardinalidades intermedias entre los naturales y los reales. Cantor creía que el enunciado de la hipótesis del continuo era cierto, e intentó probarlo infructuosamente. El problema llegó a ser tan célebre que David Hilbert lo incluyó, mas, lo colocó en el primer lugar de su célebre lista de 23 problemas que presentó en el Congreso Internacional de Matemáticos (ICM) del año 1900. En 1940 Kurt Gödel demostró que la hipótesis del continuo no puede ser refutada en el sistema ZFC. Para ello, Gödel añadió la propia hipótesis del continuo como axioma a los de ZFC (el sistema de axiomas Zermelo-Fraenkel - Axioma de Elección) y demostró que se obtenía un sistema consistente. Por otra parte, Paul Cohen demostró en 1963 que la hipótesis del continuo no puede ser demostrada en ZFC añadiendo el contrario de la hipótesis del continuo a ZFC y demostrando, como Gödel, que el sistema de axiomas que se obtenía era de nuevo consistente. La prueba de Cohen cerraba el círculo: la hipótesis del continuo no se puede ni demostrar ni refutar dentro del sistema axiomático que está aceptado como el que gobierna la teoría de conjuntos, que es ZFC. Es decir, la hipótesis del continuo es independiente de ZFC, lo que significa que se puede construir una teoría de conjuntos consistente donde la hipótesis del continuo sea cierta y también puede construirse una teoría de conjuntos consistente donde dicho resultado sea falso. Haciendo un paralelo sucede igual que en la geometría con el postulado de paralelismo

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