COEFICIENTES DE ERROR.

COEFICIENTES DE ERROR.

Objetivo: Analizar el error en estado estacionario para sistemas con

realimentación unitaria y no unitaria. Como así también definir el tipo de sistema,

es decir a que señal de referencia es capaz de seguir, con error nulo en régimen

permanente.

Introducción.

Antes de emprender el análisis del error en estado estable, se debe clarificar cuál es

el significado de error del sistema. En general el error se puede ver como una señal

que rápidamente debe ser minimizada y si es posible reducida a cero.-

Considérese un sistema de control SISO, como el indicado en la figura 1

SR(s) R(s) + E (s) a C(s)

- B(s)

Fig. 1 Esquema de bloques para un control SISO

El error verdadero se define como la diferencia entre la señal de referencia Sr(t) y la

señal de salida c(t) , mientras que el error actuante, o señal activa, es la entrada al

bloque G(s), que se denominara en adelantee (t) a , (si está en las unidades de r(t) ) y

e'a(t) si la dimensión es la misma que tiene la señal de referencia Sr(t) .-

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) :( , )

( ) ( ) ( ) ( ); ( ).

1 E s R s B s R s H s C s SR s G s H s C s ErrorActuante o Señal Activa

E s SR s C s Error Verdadero la unidad es la misma quela de Sr t

a = − = − = −

= − −

La dimensión de la ea(t) es igual a la de r(t) , generalmente en [Volt], pero también

suele expresarse en la misma unidad que la referencia, e'a(t) , por ejemplo: [ºC, rad.,

rad/seg., m/seg.,...etc.], con su valor equivalente como se verá mas adelante.

La función de transferencia H(s) , se supondrá de acá en más que no tiene polos ni

ceros en el origen y representa al sistema de medición, que generalmente realiza la

medición de la variable controlada c(t) y la convierte en otra variable,b(t) , más

conveniente de procesar y transmitir como ser, tensión, corriente, presión, etc.

Por lo tanto H(0) = K = cte. − H

Como se puede apreciar la relación entre la dimensión de la señal de salida, por

ejemplo, ºC, metros, rad/seg. etc., y la señal de realimentación, o la señal de

entrada que es por lo general Volts, estará dada por la ganancia estática de la

función de transferencia del elemento de medición H(s) o sea KH.

Por lo tanto deberá ser la misma relación entre la señal de referencia y la señal de

entrada, o sea, la ganancia estática de G1(s) deberá ser también KH.

( ) 1 G s G(s)

H(s)

Error en Estado Estacionario de Sistemas de Control Prof. Ing. Carlos F. Martín Año: 2009 2

Como la función de transferencia ( ) 1 G s , del llamado selector de referencia,

(usualmente una ganancia y siempre tiene una dimensión, por ejemplo [Volt/rad,

Volt/ºC, Volt/m etc.]), representa al elemento que convierte la señal de referencia

Sr(t) en una variable adecuada, la de entrada r(t) , para poder ser comparada con la

medición de la salida, b(t) , por ende, S R H G (s) = K = K 1

Si se supone que S R G (s) = K 1 , la ganancia estática de la función de transferencia del

sistema será:

(0)

(0)

1 (0) (0) 1

(0)

(0)

(0)

' (0) (0)

H

G

K

G H

K G

K M

SR

M C SR SR

S R

+

=

+

= = =

Como se puede ver solo siG(0)→∞, S R H K = K , en consecuencia si G(s) no tiene

polos en el origen y se hace S R H K = K el sistema tendrá un error de estado

estacionario a una entrada escalón, (el sistema será Tipo cero).-

Si el error verdadero fuera siempre nulo para una referencia escalón, S R K deberá

tener en el valor : SR H K

G

H

G

K = + = +

(0)

(0) 1

(0)

1 , pero ya no se respetaría la

relación comentada entre Sr(t) y la de entrada r(t).

Si G(0)→∞, (tiene un polo en el origen), y S R K se hace igual a la ganancia estática

de H(s) , en estos casos se tendrá dicho error nulo, sistema Tipo uno.-

Por lo tanto la señal de referencia sería:

S R K

Sr(t) = r(t) que se empleará así:

H K

Sr(t) = r(t)

En consecuencia la señal del error verdadero será:

( ) ( ) c(t)

K

e t r t

S R

= − que se tomará así: ( ) ( ) c(t)

K

e t r t

H

= −

Para el tiempo tendiendo a infinito será el error de estado estacionario en estudio.

Cuando H(s) y ( ) 1 G s valen 1, se dice que el sistema es de realimentación unitaria

y, para este caso los dos errores coinciden y además Sr(t) = r(t) ⇒ SR(s) = R(s).−

Sistemas con realimentación unitaria

Estos sistemas tienen un diagrama en bloques como el indicado en la figura 2.

En ellos la señal de referencia y la de entrada coinciden o sea: SR(s) = R(s)

SR(s) = R(s) + E(s) E (s) a = C(s)

_

B(s) = C(s)

Fig. 2. Diagrama en bloques para un sistema de realimentación unitaria.

En general cualquier función transferencia puede ser escrita como:

G(s)

Error en Estado Estacionario de Sistemas de Control Prof. Ing. Carlos F. Martín Año: 2009 3

donde n k m

s s p

K s z

s s p s p

G s K s z s z k

i

i

n

m

j

n j

k

n

n m + ≥

+

+

=

+ +

+ +

=

Π

Π

=

=

1

1

'

1

1

'

( )

( )

( )...........( )

( ).............( )

( )

Para los sistemas de realimentación unitaria el “tipo de sistema” se define según

sea el valor de “n” en la expresión anterior. Es decir según el número de

integraciones puras en la cadena directa.

Ejemplo:

El tipo de sistema indica que orden de señales de referencia puede “seguir” un

sistema con error nulo en régimen estacionario. Aquí “el orden” se refiere a la

potencia de s en la transformada de Laplace de la referencia. Para ver esto,

investigaremos el error en estacionario para varios tipos de sistemas, debido a las

señales de referencia: impulso R(s)=1, escalón R(s)=1/s, rampa R(s)=1/s∧2 y

parábola R(s)=1/s∧3.

El error para el sistema de realimentación unitaria,

...