CONCEPTO DE LÍMITE

CONCEPTO DE LÍMITE

El límite de la función f(x) en el punto a, es el valor al que se acercan las imágenes (las y) cuando los originales (las x) se acercan al valor a. Es decirel valor al que tienden las imágenes cuando los originales tienden a a.

Se dice que la función f(x) tiene como límite el número L, cuando x tiende aa, si fijado un número real positivo ε, mayor que cero, existe un número positivo δ dependiente de ε , tal que, para todos los valores de x distintos dea que cumplen la condición |x - a| < δ , se cumple que

|f(x) - L| <ε .

Existen funciones en las que a veces no es posible calcular directamente el límite en algún punto. Esto es debido a que estas funciones están definidas de diferente forma a la izquierda y a la derecha de ese punto. Para estudiar estos límites, se necesita recurrir a los límites laterales.

La condición necesaria y suficiente para que una función f(x) tenga límite en un punto de abscisa a es que tenga un límite lateral por la izquierda, tenga límite lateral por la derecha y ambos sean iguales. Si una función es convergente o tiene límite en un punto, éste debe ser único. Además, toda función que tiene límite en un punto está acotada en un entorno de ese punto.

Para calcular el límite de una función en un punto, no interesa lo que sucede en dicho punto sino a su alrededor.

LÍMITE POR LA DERECHA

El límite de una función f(x) cuando x tiende hacia el punto a por la izquierda es L, si y sólo si:

para todo ε > 0 existe δ > 0 tal que:

si x (a+δ, a), entonces |f (x) - L| <ε.

LÍMITE POR LA IZQUIERDA

El límite de una función f(x) cuando x tiende hacia el punto a por la izquierda es L, si y sólo si:

para todo ε > 0 existe δ > 0 tal que:

si x (a, a+δ), entonces |f (x) - L| <ε.

PROPUESTA DE TRABAJO

1. Mover el punto verde a y fijarlo. Ese es el punto en donde se quiere obtener el límite de la función.

2. Mover el punto rojo x a la izquierda en dirección del punto verde para ver el comportamiento de límite lateral derecho Ld de la función.

3. Mover el punto rojo x a la derecha en dirección del punto verde para ver el comportamiento de límite lateral izquierdo Li de la función.

4. Comprobar que los límites laterales son distintos cuando los puntos rojo yverde son iguales. Eso significa que la función es discontinua y el límite no existe.

5. Modificar la función con intervalos dando click con botón derecho y hacer que el límite exista a través de la igualdad de los límites laterales.

...