Cadenas de Marcov

REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA[pic 1][pic 2]

FUERZA ARMADA NACIONAL BOLIVARIANA

MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA DEFENSA

VICEMINISTERIO DE EDUACACIÓN PARA LA DEFENSA

UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITÉCNICA DE LA FUERZA ARMADA NACIONAL

VICERRECTORADO DE LA REGIÓN CAPITAL

DECANATO DEL NÚCLEO CARACAS

COORDINACIÓN DE INGENIERIA DE SISTEMAS NOCTURNO

CADENAS DE MARKOV

                                                                                   Cap. Samuel Rojas M.

                C/1ro. Daniel Romero A.

INTRODUCCIÓN

Podemos considerar a la cadena de Markov como uno de los procesos probabilísticos mas empleados en la actualidad cuya aplicación es utilizada en la Meteorología, modelos epidemiológicos, el internet, simulaciones, juegos de azar, economía y finanzas, genética, música, operaciones, redes neuronales, entre otros.

        De esta manera, se pude visualizar el gran avance que ha tenido esta cadena de probabilidades desde su desarrollo por el matemático ruso Andrei Marcov en el año de 1906, cuyo modelo cuenta con grandes números de aplicaciones reales que hoy en día se siguen aplicando en la actualidad.  

CADENA DE MARCOV

        Se puede considerar como un concepto que fue desarrollado dentro de la teoría de la probabilidad y la estadística, la cual establece una fuerte dependencia entre uno o varios eventos con otro suceso anterior cuya principal utilidad se basa en el análisis del comportamiento de procesos estocásticos. Es decir, es considerada una herramienta que puede analizar distintos procesos donde una sucesión de variables aleatorias evoluciona en función de otra variable, de esta manera este conjunto de variables origina efectos aleatorios.  

[pic 3]

        Sin embargo, las cadenas de Markov han experimentado una aplicación real en el ámbito financiero y de los grandes negocios, ya que permite analizar y estimar futuros patrones de conducta de los individuos atendiendo la experiencia y los resultados anteriores. De esta manera, lo anterior puede reflejarse en diferentes campos como la morosidad, el estudio de las conductas de los consumidores, la demanda estacional de mano de obra, entre otros.

        Es por ello, que este sistema es bastante sencillo cuenta con una aplicación práctica bastante fácil, donde muchas voces criticas señalan que un este modelo tan simplificado no puede ser totalmente efectivo en procesos complejos.  

CARACTERÍSTICAS

        Las cadenas de Marcov se pueden caracterizar por varios tipos de variables las cuales se pueden explicar a continuación:

• Cadenas homogéneas y no homogéneas: 

 La cadena de Marcov es homogénea si la probabilidad que existe de ir del estado [pic 4] al estado [pic 5]en un paso no dependente del tiempo en el que se encuentra la cadena, es decir:

[pic 6]

Para todo [pic 7] y para cualquier [pic 8]

No obstante, si para alguna pareja de estados y para algún tiempo [pic 9]la propiedad antes mencionada no se cumple, entonces la cadena de Marcov en no homogénea.

• Probabilidades de Transición:

Estas probabilidades se pueden llegar a efectuar de tal manera que sean [pic 10] y [pic 11] dos estados de una cadena de Marcov, es allí donde la probabilidad de ir del estado [pic 12] en el tiempo [pic 13] al estado [pic 14] en el tiempo [pic 15]se denota por la siguiente formula:

[pic 16]

Sin embargo, cuando la cadena es homogénea esta probabilidad se denota por la siguiente formula:

[pic 17]

De esta manera, se representa la probabilidad de pasar del estado [pic 18] al estado [pic 19] en una unidad de tiempo.

• Matriz de Probabilidades de Transición:

A través de esta matriz se puede determinar que teniendo las probabilidades de transición en un paso [pic 20] donde variamos los índices[pic 21] sobre el espacio de estados  [pic 22]y obtenemos la matriz [pic 23] que recibe el nombre de matriz de probabilidades de transición en un paso, la cual se representa de la siguiente manera:

[pic 24]

De esta forma, la entrada [pic 25] representa la probabilidad de pasar del estado [pic 26] al estado [pic 27] en un paso. Es por ello, que la matriz [pic 28] es considerada una matriz estocástica ya que satisface lo siguiente:

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