Calculo 3 y 4. Área entre dos curvas

3.-Área entre dos curvas

El cálculo del área entre dos curvas en un intervalo [a,b] requiere un proceso prácticamente igual al del cálculo del área entre una curva y algún eje del plano.

Sean f(x) y g(x) nuestras curvas con y [a,b] el intervalo del área a calcular.

Hacemos una partición regular de n subintevalos de longitud (b-a)/n.

En cada uno de los (b-a)/n tomamos un valor específico x'.

Evaluamos f(x') y g(x') y construimos rectángulos de base (b-a)/n y altura f(x')-g(x') (en el caso f(x')>g(x')), El cual tiene un área de (f(x')lg(x'))((b-a)/n)

Al sumar las áreas de los n rectángulos de esta partición, obtenemos un aproximado del área entre las curvas

=> Tomamos el límite cuando n->∞ para obtener el valor exacto del área.

Pero sabemos por definición que el límite de la sumatoria de Reimann es la integral definida de f(x)-g(x) en el intervalo [a,b]

:. El área entre dos curvas en [a,b] es la integral definida de f(x)-g(x) en [a,b]

Una de las principales aplicaciones para éste este cálculo es determinar el valor de superávit de consumidores o productores.

La idea es que, el área bajo la cueva de la demanda es el total que los consumidores están dispuestos a desembolsar por q0 artículos[pic 1]

 El área bajo la recta y = p0 muestra la cantidad que los consumidores realmente desembolsarán en el precio p0 de equilibrio

:. El área entre la curva de demanda y la recta y=p0 representa el superávit de los consumidores

De manera similar: La curva de oferta describe el precio al que los fabricantes están dispuestos a vender su producción. [pic 2]

Cuando el precio de equilibrio es mayor a la curva de oferta, las diferencias entre ambos precios para cada qi generan una entrada superior a la estimada

:. El área entre la cuerva de oferta y y=p0, cuando la primera es menor a la segunda, es el superávit de los productores

Ejercicios:

1.- Calcular el área de la región encerrada entre las gráficas de f(x) = 3x−2 y g(x) = 2x−1.

Primero, para determinar quién es nuestro intervalo [a,b] igualamos las funciones para encontrar los puntos de intersección:

Tenemos (3x^2)−2 = 2x−1 => (3x^2)-2x-1 = 0

=> (3x^2)+x-3x-1 = 0 => x(3x +1)-(3x+1)

=> (3x+x)(x-1)

e.i. 3x+1 = 0 => x = - 1/3

o x-1 = 0 => X = 1[pic 3]

Ahora tomamos la construcción del principio del tema    (f(x) − g(x)) dx  y sustituimos:

   (2x−1-((3x^2)−2)) dx =    ((−3x^2)+2x+1) dx  (Resolvemos la integral)

= [(−x^3)+ (x^2) + x]    

= 1-(-(-5/27)) = 32/27

:. El área entre f(x) y g(x) en [-1/3,1] es 32/ 27

2.- Calcular el área de la región encerrada entre las gráficas de  f(x) = (4x^3) y g(x) = 4x[pic 4]

En este caso notemos que ambas funciones atraviesan el (0,0) y que al ser g(x) una recta y f(x) una cuadrática, existen 3 puntos de intersección.

Igualamos funciones:

Tenemos (4x^3)  = 4x => (4x^3)-4x = 0

=> 4x((x^2)-1) = 0

e.i. 4x = 0 => x = 0

o (x^2)-1 = 0 => x = 1 o x =-1

Ahora sustituimos de nuevo en la construcción del principio, tomando en cuenta que en esta ocasión son 2 áreas a calcular, y que en una de ellas, la segunda función es mayor a la primera:

=>    ((4x^3)-4x) dx +    (4x-(4x^3) dx = [(x^4)-(2x^2)]    + [(2x^2)-(x^4)]    

=> (0-(-1)) + (-1-0) = 2

3.- Calcular el área de la región comprendida entre las gráficas de f(x) = (x^2)+1 y g(x) = 2x^2 para 0 ≤ x ≤ 2

En este ejercicio nos dan el intervalo [a,b] = [0,2], sin embargo no sabemos si estos son los puntos de intersección de las gráficas, por lo tanto, comprobemos.

Igualamos funciones:

Tenemos (x^2)+1 = (2x^2) => -(x^2)+1 = 0[pic 5]

=> (x^2) = 1

:. x = 1 o x = -1

(Pero recordemos que la restricción de intervalo nos defina a 0 ≤ x por lo que solo consideraremos la intersección x = 1)

Notando que al tener un punto de intersección único y distinto a los las fronteras del intervalo [a,b], sabemos que necesariamente son dos áreas a calcular, por lo que usaremos la misma forma de suma de integrales que en el ejercicio anterior.

Sustituimos valores:

    (−(x^2)+1) dx +    ((x^2)-1) dx = [(-(1/3)x^3)+x]    +  [((1/3)x^3)-x]    

= [(2/3)-0) + ((2/3)-(-( 2/3)))] = 2

4.- Calcular el área de la región comprendida entre las graficas de f(x) = (x^2) y g(x) = (x^(1/2))

Igualamos las funciones para encontrar sus intersecciones:[pic 6]

Tenemos (x^2)  = (x^(1/2)) => x = (x^4)

=> x-(x^4) = 0

=> x(1-(x^3)) = 0

e.i. x = 0

o 1-(x^3) = 0 => (x^3) = 1 => x  = 1

Sustituimos valores:

   ((x^2)-(x^(1/2)) dx = [((x^3)/3)-((2x^(3/2))/3)]    

=> (1/3)-0 = 1/3

5.- Calcular el área de la región comprendida entre las gráficas de f(x) = x y g(x) = (x^2)

Igualamos las fucnciones para encontrar el intevalo [a,b]:

Tenemos x = (x^2) => (x^2)-x = 0[pic 7]

=> x(x-1) = 0

e.i. x = 0

o x-1 = 0 => x = 1

Sustituimos en la constucción inicial y tenemos:

   (x-(x^2)) dx = [((x^2)/2)-((x^3)/3)]  

=> (1/2)-(1/3) = 1/6

Ejercicios de aplicación:

1. La curva de demanda está dada por la ley d(x) = 50-(0.06x^2). Encuentre el superávit o ganancia de los consumidores si el nivel de venta asciende a veinte unidades.

Como la cantidad de unidades es 20, su precio p = d(20) = 50-(0.06(20)^2) = 26

La ganancia del consumidor será     (50-(0.06(x^2))-26) dx =    50 dx -    0.06(x^2) dx -    26 dx

= [24x – ((0.06(^3))/3)]    

= [480-160] = $320

2. Se conoce que la curva de la oferta para un producto es S(x) = (x/2)+7. Encuentre la ganancia de los productores si la producción asciende a diez artículos.

Si la producción asciende a 10 unidades el precio es S(10) = (10/2)+7 = $12. La ganancia o superávit de los productores se determina:

   |12-(x/2)+7| dx =    (5-(x/2)) dx =     5 dx -    (x/2) dx

= [5x – ((x^2)/4)]     = [50-25] = $25

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