Área bajo la curva. Dos problemas motivaron las dos más grandes ideas del Cálculo

Área bajo la curva.

Dos problemas motivaron las dos más grandes ideas del Cálculo. El problema de la tangente que condujo a la derivada y el problema del área que llevará a la integral definida.

Para encontrar áreas de polígonos no es dificultad, debido a que se empieza por definir el área de un rectángulo como el producto de su longitud por su ancho (ambas medidas con las mismas unidades) y a partir de esto se deducen en sucesión áreas de polígonos.

El problema se presenta cuando se considera obtener el área limitada por una curva. Sin embargo, hace más de 2000 años, Arquímedes dio la clave para su solución, considérese, dijo, una sucesión de polígonos inscritos que se aproximen a la región curva con una precisión cada vez más grande. Por ejemplo, para el círculo de radio 1, considérense polígonos inscritos P1, P2, P3,…, de 4 lados, 8, 16,…, como se muestra a continuación:

El área del círculo es el límite cuando nde las áreas de Pn.

Para encontrar el área de cualquier superficie sin importar su forma, como se muestra en la siguiente figura:

Observa

Observa que la región está comprendida entre la función, el eje X, la recta x=a y la recta x=b. Para calcular el área de la región, se divide en una serie de rectángulos de base x , con el propósito de sumar todos los rectángulos y obtener una aproximación del área total.

Considerando que ya se vio la notación sumatoria, se puede enunciar la suma de los rectángulos en una sola expresión, para ello se toma un valor xi, dentro del intervalo a,b, tal que exista xi y un f(xi), de tal manera que se cumpla que:

De esta manera se puede calcular el área de ese rectángulo:

A fxixi 

Esto es, la altura del rectángulo por su base. Si se considera a xi , como cualquier partición del eje X que determina un rectángulo dentro del área, entonces:

Representa el área aproximada de la región que

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