Calculo Diferencial Unidad 1 Números Reales

Calculo Diferencial Unidad 1 Números Reales

Índice

1.1 - La Recta Numérica 1

1.2 - Números Reales 3

1.3 - Propiedades De Los Números Reales 5

1.4 - Intervalos Y Su Representación Mediante Desigualdades 7

1.5 - Resolución De Desigualdades De Primer Grado Con Una Incógnita Y De Desigualdades Cuadráticas Con Una Incógnita 9

1.6 - Valor Absoluto Y Sus Propiedades 11

1.7 - Resolución De Desigualdades Que Incluyan Valor Absoluto 14

1.1 - La Recta Numérica

La recta numérica

Una recta numérica representada por dos flechas en los extremos, es una recta infinitamente larga y es una parte esencial de las matemáticas básicas.

Los puntos en una recta numérica corresponden a un número real específico.

Todos los puntos están marcados a una distancia específica del origen que es 0, el cual puede ser elegido arbitrariamente.

La recta numérica es una herramienta muy útil para entender los conceptos de números enteros con signo y números reales, así como su suma y resta.

A partir del origen en la recta numérica, los números siguen aumentando en magnitud hacia la derecha, mientras que se mantienen disminuyendo en magnitud en la dirección opuesta, que es representado por el símbolo negativo.

Todos los números en la recta numérica poseen una distancia absoluta desde el origen de la recta, lo que significa que tienen una diferencia absoluta desde el valor cero.

El orden en que se coloca el número en la recta juega un papel importante en la determinación de su magnitud con relación a otros números sobre la recta.

Por lo general los números enteros están marcados claramente en la recta, y están igualmente espaciados uno del otro, sin embargo esto no siempre es así y por lo general, varía por requerimiento.

Las dos mitades simétricas, que son los números positivos y números negativos respectivamente, hacen el concepto de números positivos y números negativos bastante claro.

También explica que cada número positivo tiene su opuesto negativo en la otra mitad.

La distancia entre los dos opuestos es igual desde el origen de la recta numérica, que es desde el cero, lo que deja claro que son de igual magnitud en las direcciones respectivas.

Esto también da base al hecho de que todos los números en la recta numérica tienen un valor absoluto.

Para saber el valor absoluto de un número, se utiliza el símbolo| |.

Por poner un ejemplo, el valor absoluto de −3 sería | −3 | = 3.

Ya que el valor absoluto viene a ser una distancia y la distancia nunca puede ser negativa, por tanto el valor absoluto de cada número, sea positivo o negativo, siempre es positivo.

Generalmente la recta numérica se dibuja horizontalmente, incluyendo todos los tipos de números reales, tales como números enteros, números naturales, números racionales, números irracionales, etc.

Pero también puede ser usado para representar un conjunto complejo / números imaginarios.

Una recta numérica representando tal conjunto de números es trazada verticalmente, pasando por el origen. En un ángulo de 900 desde la recta numérica de los números reales.

No hay elementos mínimos o máximos en una recta numérica, los números racionales forman un subconjunto grande y denso de la recta de los números enteros.

De acuerdo con estas dos propiedades de la recta numérica, se puede concluir que una recta numérica es isomorfa a una recta real.

Aparte de esto, la recta numérica también cumple la condición de cadena contable, la cual establece que “Cada conjunto de intervalos abiertos no vacíos y mutuamente divisibles entre sí en la recta numérica es contable”.

El concepto de recta numérica se puede entender mejor con la ayuda de un ejemplo.

Suponga que la respuesta de la ecuación (x +7) = 10 se va a encontrar utilizando la recta numérica. Entonces,

Este cálculo se puede realizar considerando la distancia entre 10 y 7

Entonces, la respuesta es 3 dado que 10 está 3 pasos delante del 7.

1.2 - Números Reales

Números reales

Los números que pueden representarse por notación decimal se llaman números reales. En palabras más simples, todos esos números que perduran son reales.

Cada tipo de número encaja en el conjunto de los números reales.

Este conjunto incluye, básicamente, los números naturales, números enteros, números racionales e irracionales.

Todo número real puede tener lugar en la recta numérica.

Esta caracterización es uno de los desarrollos más significantes en la aritmética del siglo XIX.

El principal uso de los números reales se encuentra en la medición de las cantidades continuas.

Estas tienen dos propiedades importantes por el nombre de límite mínimo superior y campo ordenado.

De acuerdo con la primera, un conjunto de Número Reales no vacío tendrá un límite mínimo superior, si el conjunto contiene un límite superior.

El último dice que los números reales contienen un campo ordenado que puede ser completamente organizado bajo la recta numérica en sintonía con la multiplicación y la adición.

Los números reales tienen su aplicación en los diversos campos de la física y de la computación.

En física, la mayoría de las constantes físicas y las variables físicas se calculan con la ayuda de los números reales.

En el pasado, varias teorías fundamentales de la física se explicaban a través de diferentes composiciones matemáticas que están totalmente basados en estos números reales.

La notación “R” es universalmente utilizada para simbolizar todo el conjunto de los números reales.

Estos números pueden ser marcados en la recta numérica como puntos.

Los puntos de Números Reales siguen el principio básico de la recta numérica, es decir, el número más grande va a salir a la derecha y el más pequeño a la izquierda teniendo como punto de referencia el 0.

Los números reales pueden ser representados con ayuda de los decimales.

Esta representación ayuda a encontrar la posición aproximada de los números en la recta numérica.

Por ejemplo, 0.5 es la demostración decimal del número racional ½.

Los Números reales abarcan 9 propiedades diferentes que incluye la Propiedad Conmutativa de la Suma, la Propiedad Conmutativa de

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