UNIDAD 2 CALCULO DIFERENCIAL

2.1 Concepto de variable, función, dominio, codominio y recorrido de una función.

El dominio de una funcion son todos los valores que puede tomar el conjunto del dominio y que encuentra correspondencia en el conjunto llamado codominio.

Codominio o rango de la función en ocasiones llamado imagen, este conjunto es la gama de valores que puede tomar la función; en el caso del plano son todos los valores que puede tomar la función o valores en el eje de las Y

VARIABLE INDEPENDIENTE:Es aquella variable que no depende de ninguna otra variable, en el ejemplo anterior la x es la variable independiente ya que la y es la que depende de los valores de x.

VARIABLE CONSTANTE: Es aquella que no esta en función de ninguna variable y siempre tiene el mismo valor ejemplo: Y=2, la constante gravitacional, entre otras.

2.2 Función inyectiva, suprayectiva y biyectiva.

inyectiva y no sobreyectiva:

En una función inyectiva, cada elemento imagen tiene única preimágen. Un función que no sea inyectiva, tendrá al menos dos elementos diferentes del dominio que tienen la misma imagen.

En una función suprayectiva (sobreyectiva) cada elemento del codominio es imagen de algún elemento del dominio. Una función no será suprayectiva, cuando al menos un elemento del codominio (conjunto final)

no tenga una preimagen.

En el diagrama de Venn corresponden a las aplicaciones que pertenecen a A y no pertenecen a B, esto es las que pertenecen a la diferencia de A y B: A-B.

En estas aplicaciones la cardinalidad de X es siempre menor que la de Y, esto es el conjunto Y tendrá mayor número de elementos que X cuando tratamos de compararlos.

Aplicación no inyectiva y sobreyectiva:

Una aplicación no inyectiva tiene al menos un elemento imagen que tiene dos o más orígenes y una sobreyectiva todos los elementos del conjunto final tienen al menos un elemento origen.

En el diagrama de Venn corresponden a las aplicaciones que no pertenecen a A y si pertenecen a B, esto es las que pertenecen a la diferencia de B y A: B-A. Para esta aplicación el conjunto X ha de tener mayor número de elementos que Y, la cardinalidad de X ha de ser mayor que la de Y.

El elemento c de Y, tiene dos orígenes: el 3 y el 4, por lo que esta aplicación no es inyectiva. Todos los elementos de Y, tienen origen, esto hace que la aplicación sea sobreyectiva.

Un ejemplo resumido:

2.3 Función real de variable real y su representación gráfica

Sea una función real de variable real. A cada le hace corresponder un valor numérico que es la imagen de x por f.

GRAFICO DE UNA FUNCIÓN

“x” representa la variable independiente y toma valores en el conjunto original D

“y” representa la variable dependiente y toma valores en el conjunto imagen

Son funciones donde el conjunto final es el conjunto de números reales (funciones reales) y el conjunto inicial también es o un subconjunto D de (variable real)

2.4 Funciones algebraicas: función polinomial, racional e irracional.

Las funciones racionales se obtienen con el cociente de dos funciones polinómiales.

La función es irracional cuando algún exponente del polinomio no es entero.

Las funciones polinómicas, anteriormente citadas, racionales e irracionales se llaman funciones algebraicas

Las funciones que no son algebraicas, como las exponenciales, logarítmicas y trigonométricas se llaman funciones trascendentes.

Otro tipo de funciones interesantes son las funciones no elementales tales como: la función delta, función parte entera, la función random, la función valor absolutos entre otras...

Otra forma de clasificar las funciones es en funciones explicitas e implícitas. Se dice que una función es implícita cuando la variable dependiente no esta despejada, por ejemplo: 2y+xy= x2, y en caso contrario se le llamara explicita por ejemplo: y(x)=3x2+1.

2.5 Funciones trascendentes: funciones trigonométricas y funciones exponenciales.

En las funciones trascendentes la variable independiente figura como exponente, o como índice de la raíz, o se halla afectada del signo logaritmo o de cualquiera de los signos que emplea la trigonometría.

Función exponencial

Sea a un número real positivo. La función que a cada número real x le hace corresponder la potencia ax se llama función exponencial de base a y exponente x.

Funciones logarítmicas

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