Trabajo 2 Calculo Diferencial

TRABAJO COLABORATIVO # 2

CALCULO DIFERENCIAL

TUTOR:

ALVARO ALBERTO HUERTAS C.

INTEGRANTES:

MARTINEZ BARRIOS VICTOR

COD: 1.067.093.036

LARA ACOSTA YURIS

COD: 1.066.179.088

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD

SAHAGUN – CORDOBA

NOVIEMBRE 07 DE 2012

INTRODUCCION

El concepto de límite parece ser uno de los que presenta mas dificultad en matemáticas. La idea de aproximarse a un punto o a un valor tan cerca como se especifique y aun así nunca alcanzarlo no es aparentemente atractivo desde el punto de vista intuitivo. Sin embargo, de hecho, conceptos del tipo de límite se utilizan frecuentemente en razonamientos y conversaciones ajenas a las matemáticas. Por ejemplo, la producción máxima teórica de una maquina o de una fábrica es un límite – la ejecución ideal (o limitante) que en la práctica nunca se alcanza pero a la cual es posible aproximarse arbitrariamente. Esta misma idea se aplica al comportamiento de cualquier equipo mecánico o electrónico para el cual los ingenieros pueden calcular un aprovechamiento ideal (o limitante) y también por ejemplo a ganancias bajo condiciones ideales, kilometraje por litro de gasolina bajo operación y condiciones ideales, etc. En forma similar, hay límites inferiores de costo, desgaste, desperdicio, etc.

LIMITE es un concepto que describe la tendencia de una sucesión o una función, a medida que los parámetros de esa sucesión o función se acercan a determinado valor. A continuación se abordará este concepto a través de una serie de ejercicios enfocados en sintetizar los conocimientos adquiridos durante el desarrollo de la segunda unidad del curso cálculo diferencial.

EJERCICIOS DE LÍMITES Y CONTINUIDAD

Fase 1.

Resuelva los siguientes límites:

lim┬(x→2)⁡〖(x^2-x-2)/(x^2-5x+6)〗

Solución:

Factorizamos tanto en el numerador como en el denominador:

lim┬(x→2)⁡〖(x^2-x-2)/(x^2-5x+6)〗= lim┬(x→2) (x-2)(x+1)/(x-3)(x-2) =≫lim┬(x→2) (x+1)/(x-3)=≫ (2+1 )/(2-3) =≫ 3/(-1)=-3

Luego,

〖lim〗┬(x→2)⁡〖(x^2-x-2)/(x^2-5x+6)〗= -3

lim┬(x→0)⁡〖(√(9+x)-3)/x〗

Solución:

Multiplicamos la expresión por la conjugada del numerador:

(√(9+x)-3)/x*((√(9+x)+3)/(√(9+x)+3))= (9+x-9)/x(√(9+x)+3) = 1/(√(9+x)+3)

Aplicando el límite original a la nueva expresión, tenemos:

lim┬(x→0) 1/(√(9+x)+3)= 1/(√9+3)= 1/(3+3)= 1/6

Luego,

〖lim〗┬(x→0)⁡〖(√(9+x)-3)/x= 1/6〗

lim┬(x→-2)⁡〖(3-√(x^2+5))/(3x+6)〗

Solución

Multiplicamos la expresión por la conjugada del numerador:

(3-√(x^2+5))/(3x+6)*((3+√(x^2+5))/(3+√(x^2+5)))= (9-〖(x〗^2+5))/(3x+6)(3+√(〖(x〗^2+5)) =(9-x^2-5)/(3x+6)(3+√(〖(x〗^2+5)) = (4-x^2)/(3x+6)(3+√(〖(x〗^2+5))

Aplicamos factorización en el numerador y factor común en el denominador

((2+x)(2-x))/3(x+2)(3+√(〖(x〗^2+5)) = (2-x)/(3(3+√(〖(x〗^2+5)))

Aplicamos el límite original a la nueva expresión:

lim┬(x→-2) (2-x)/(3(3+√(〖(x〗^2+5)))= (2-(-2))/(3(3+√(〖-2〗^2+5)))= 4/(3(6))= 4/18= 2/9

Luego,

〖lim〗┬(x→-2)⁡〖(3-√(x^2+5))/(3x+6)= 2/9 〗

lim┬(h→2b)⁡〖(〖(b+h)〗^2-b^2)/h〗

Factorizando tenemos:

lim┬(h→2b)⁡〖(〖(b+h)〗^2-b^2)/h〗=lim┬(h→2b) ((b+h+b)(b+h-b))/h=lim┬(h→2b) (2b+h)h/h

lim┬(h→2b) 2b+h=2b+2b=4b

Luego,

〖lim〗┬(h→2b)⁡〖(〖(b+h)〗^2-b^2)/h〗=4b

Fase 2.

lim┬(x→0)⁡〖tan⁡7x/(sen 2x)〗

Solución:

Antes que nada recordemos que:

tanx= senx/cosx y lim┬(x→0)⁡〖senx/x〗=1

Teniendo claros estos conceptos procedemos a resolver el límite:

lim┬(x→0)⁡〖tan⁡7x/(sen 2x)〗 Sustituimos el valor de tanx:

lim┬(x→0) 7(Senx/cosx)/2(senx/1) = (7 senx)/(2 cosx senx)= (7(1/x senx))/(2(1/x cosx senx))= (7 senx/x)/(2 (cosx senx)/x)= (7(1))/(2(cosx senx/x))

lim┬(x→0)= 7/(2 cosx(1))= 7/(2 cos⁡(0)(1))= 7/2

Luego,

〖lim〗┬(x→0)⁡〖tan⁡7x/(sen 2x)〗= 7/2

lim┬(∅→0)⁡〖(1-cos∅)/∅〗

Solución:

Aplicamos la conjugada:

lim┬(∅→0)⁡〖(1-cos∅)/∅〗=lim┬(∅→0) ((1-cos∅)/∅)((1+cos∅)/(1+cos∅)) = lim┬(∅→0) (1-〖cos〗^2∅)/(∅(1+cos∅))

Por identidades trigonométricas sabemos:

〖sen〗^2∅+〖cos〗^2∅=1

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