Trabajo Col 2 Calculo

INTRODUCCION

Por medio del desarrollo de este taller se busca aclarar y practicar los conceptos adquiridos durante el estudio y práctica correspondiente a la Unidad 2 del módulo de Cálculo Integral

En cálculo infinitesimal, la función primitiva o antiderivada de una función f es una función F cuya derivada es f, es decir, F^,-f.

Una condición suficiente para que una función f admita primitivas sobre un intervalo es que sea continua en dicho intervalo .Si una función f admite una primitiva sobre un intervalo, admite una infinidad, que diferente entre sí en una constante. El proceso de hallar la primitiva de una función se conoce como integral indefinida y es por tanto el inverso de una derivación, las integrales indefinidas están relacionadas integrales definidas a través del teorema fundamental del cálculo y proporcionan un método sencillo de calcular integrales definidas de numerosas funciones.

Esperamos que las respuestas dadas y el paso a paso de cada uno de los puntos propuestos sean los adecuados.

16. Realice un (1) ejercicio de libre escogencia solucionado paso a paso para cada uno de las siguientes lecciones.

LECCION 19

1. Solución

INTEGRALES INMEDIATAS CON SUSTITUCIÓN

∫▒(x+2)/(4-x^2 ) dx

Se separan los términos por facilidad

∫▒x/√(4-x^2 ) dx + ∫▒〖2/√(4-x^2 ) dx〗

1 2

Haciendo sustitución de variables en 1

u=4-x^2→du=-2xdx→-du/2x=dx

La integral 2 es inmediata

∫▒x/√u∙(-du/2x)+∫▒2/√(4-x^2 ) dx

-1/2 ∫▒du/√u+2∫▒dx/√(4-x^2 )

-1/2∙u^(1⁄2)/(1/2)+2〖sen〗^(-1) (x/2)+c

=(-2)/2∙u^(1⁄2)+2〖sen〗^(-1) (x/2)+c

Se reemplazan los valores reales de u

=-√(4-x^2 ) + 2〖sen〗^(-1) (x/2)+c

R/ ∫▒〖(x+2)/√(4-x^2 ) dx=2〖sen〗^(-1) 〗 (x/2)-√(4-x^2 )+c

2.

∫▒〖x〖(x^2+2)〗^2 〗 dx

=> se sustituye u = x^2+2 y du = 2xdx => ∫▒〖x〖(x^2+2)〗^2 〗 dx = 1/2 ∫▒〖u^2 du〗 => ∫▒u^2 = u^3/3

=>1/2 ∫▒〖u^2 du〗 = 1/2 * u^3/3 = u^3/6 =>Se vuelve a sustituir u = x^2+2 => u^3/6 = 〖(x^2+2)〗^3/6

=> ∫▒〖x〖(x^2+2)〗^2 〗 dx = RTA x^6/6 + x^4 + 2x^2 + constante

LECCION 25 Integración por partes

∫▒LnX/X^2 dx= ∫▒〖X^(-2) Lnx.dx〗 Se debe definir quién va a ser U

ILATE= CONSISTE EN CLASIFICAR LAS 2 FUNCIONES EN LAS SIGUIENTES CATEGORIAS

I=Inversa trigonométricas

L=Logarítmica Lnx=U

A= Algebraica X^(-2)=dv

T=Trigonométrica

E=Exponencial

∫▒LnX/X^2 dx= ∫▒〖X^(-2) Lnx.dx= ∫▒〖Lnx.X^(-2) 〗〗 dv=U=Lnx¬¬¬ entonces du/dx= 1/x=du=1/x.dx dv=x^(-2) dx entonces ∫▒〖dv=∫▒〖x^(-2) dx=V=x^(-1)/(-1)〗〗=(-1)/x

∫▒〖U.dv=U.V-∫▒〖V.du〗〗

∫▒〖Lnx.X^(-2) dx=Lnx.((-1)/x)-∫▒(-1)/x〗 x 1/x dx=∫▒Lnx/x^2 dx=(-Lnx)/x+∫▒〖x^(-2) dx=-Lnx/X〗+x^(-1)/(-1)+C Entonces organizamosla funcion=-Lnx/x-1/x+C= (-Lnx-1)/x+C

2.

∫▒x^2 Lnx dx

Se lleva la integral anterior a la forma:

∫▒〖udv=u∙v-∫▒vdu〗

Por lo tanto

u=Lnx → du=1/x dx

dv=x^(2 )→ ∫▒〖dv=∫▒x^2 〗 → v=x^3/3

Sustituyendo estos valores

∫▒〖x^2 Lnx dx = x^3/3〗 Lnx -∫▒x^3/3∙dx/x

Resolviendo

x^3/3 Lnx-1/3 ∫▒x^2 dx →x^3/3 Lnx-1/3∙x^3/3+c

R/(∫▒x^2 Lnx) dx=x^3/3 Lnx-x^3/9+c

LECCION 26 INTEGRACION POR FRACCIONES PARCIALES

Sea (fx)=1/(x^2+x-6)=Lo 1ero que se realiza es factorizar el denominador el cual nos quedaria f(x)=1/(x¬+3)(x-2) =A/(x+3)+B/(x-2) Tenemos entonces 2 factores lineales no repetidos

Integración por fracciones parciales

∫▒(cos⁡(y))/(〖sen〗^2 (y)+sen(y)-6) dy

u=sen(y) du=cos⁡(y)dy

∫▒du/(u^2+u-6)

1/(u^2+u-6)=1/((u+3)(u-2))=A/((u+3))+B/((u-2))

A(u-2)+B(u+3)=1

Au-2A+Bu+3B=1

u(A+B)+(-2A+3B)=1

∴A+B=0 ⟹A=-B

-2A+3B=1⇒2B+3B=1⟹5B=1⟹B=1/5

⟹A=-1/5

∫▒[(-1)/(5(u+3))+1/(5(u-2))] du=(-1)/5 ln⁡(u+3)+1/5 ln⁡(u-2)+c

(-1)/5 ln⁡(sen(y) +3)+1/5 ln⁡(sen(y) -2)+c

∫▒(cos⁡(y))/(〖sen〗^2 (y)+sen(y)-6) dy=1/5 ln⁡((sen(y) -2)/(sen(y) +3))+c

17. ∫_8^20▒(t^2/6+4t)dt

∫_8^20▒〖t^2/6 dt〗+4∫_8^20▒〖t dt〗

├ t^3/(3∙6)+(4t^2)/2┤|_8^20=├ 1/6 (t^3/3+12t^2 )┤|_8^20

1/6 (〖20〗^3/3+12〖∙20〗^2-8^3/3-12∙8^2 )=1/6 (8000/3+4800-512/3-768)=1/6 (2496+4032)

∫_8^20▒(t^2/6+4t)dt=1088

La respuesta es D

17. La solución de la siguiente integral definida ∫_8^20▒(t^2/6+ 4t) dt es:

Para solucionar la presente integral definida debemos utilizar el teorema fundamental del Cálculo que nos dice que debemos encontrar la primitiva de la función, evaluarla en el límite superior, luego en el límite inferior y calcular la diferencia entre dichas evaluaciones.

Luego de explicado lo anterior comencemos por encontrar la primitiva o antiderivada de la función así:

La primitiva de ∫▒t^2/6 = t^3/18

La primitiva de ∫▒4t = 〖2t〗^2

Quedándonos la nueva función Asi

=> ∫_8^20▒(t^2/6+ 4t) dt = ├ (t^3/18+ 〖2t〗^2 )┤|_8^20

Ahora

...