Trabajo Col 3 Calculo

Halle, paso a paso, las coordenadas, (x, y), del punto crítico de las siguientes ecuaciones. ¿Diga si ese punto crítico es un máximo o un mínimo? ¿Por qué?

y=x^2-3x-2

Derivamos la función:

y'=2x-3

Igualamos la ecuación a cero:

2x-3=0

2x=3

x=3/2

El punto crítico es 3/2

Obtenemos la segunda derivada:

y'=2x-3

y''=2 →+

Cuando obtenemos la segunda derivada de la función estamos analizando la concavidad de la curva de esta función, para determinar si el punto es máximo o mínimo sustituimos el punto crítico en la segunda derivada, si el valor da positivo es un mínimo dado que la concavidad está mirando hacia arriba y si el valor da negativo es un máximo dado a que la concavidad está mirando hacia abajo.

En este caso no hubo necesidad de sustituir puesto que la derivada no tiene una variable y el valor es 2 positivo, por lo tanto este punto crítico es un mínimo.

Continuamos hallando y, para ello sustituimos el valor de x en la ecuación inicial

y=x^2-3x-2

y=(3/2)^2-3(3/2)-2

y=9/4-(9/2)-2

y=-18/8-2

y=-34/8=-17/4

Las coordenadas son (3/2,-17/4)

y=〖3x〗^2-12x

Derivamos la función:

y'=6x-12

Igualamos la ecuación a cero:

6x-12=0

6x=12

x=12/6=2

El punto crítico es 2

Obtenemos la segunda derivada:

y'=6x-12

y''=6 →+

Cuando obtenemos la segunda derivada de la función estamos analizando la concavidad de la curva de esta función, para determinar si el punto es máximo o mínimo sustituimos el punto crítico en la segunda derivada, si el valor da positivo es un mínimo dado que la concavidad está mirando hacia arriba y si el valor da negativo es un máximo dado a que la concavidad está mirando hacia abajo.

En este caso no hubo necesidad de sustituir puesto que la derivada no tiene una variable y el valor es 6 positivo, por lo tanto este punto crítico es un mínimo.

Continuamos hallando y, para ello sustituimos el valor de x en la ecuación inicial

y=〖3x〗^2-12x

y=〖3(2)〗^2-12(2)

y=3(4)-12(2)

y=12-24

y=-12

Las coordenadas son (2,-12)

Usando la Regla de L’Hopital, paso a paso, halle el límite 3, 4 y 5:

lim┬(x→0)⁡〖(∛(3x+1)-1)/x〗

Evaluamos el límite:

lim┬(x→0)⁡〖(∛(3x+1)-1)/x〗=(∛(3(0)+1)-1)/0=(∛1-1)/0=0/0

El resultado nos da una indeterminación

Resolvemos utilizando la regla de L’Hopital que nos dice que debemos derivar el numerador y el denominador de la función de forma independiente, así tendríamos:

La derivada del numerador:

(∛(3x+1)-1)^'=〖((3x+1)〗^(1/3))'=1/3(3x+1)^(1/3-1)∙3= (3x+1)^(-2/3)= 1/∛(〖(3x+1)〗^2 )

La derivada de x sabemos que es 1, entonces tendríamos:

lim┬(x→0)⁡〖(∛(3x+1)-1)/x〗=lim┬(x→0) (1/∛(〖(3x+1)〗^2 ))/1=lim┬(x→0) 1/∛(〖(3x+1)〗^2 )

Evaluamos:

lim┬(x→0) 1/∛(〖(3x+1)〗^2 )=1/∛(〖(3(0)+1)〗^2 )= 1/∛1=1/1=1

El límite de la función lim┬(x→0)⁡〖(∛(3x+1)-1)/x〗 cuando x tiende a 0 es 1

lim┬(x→1)⁡〖(1-x^2)/(sen(πx))〗

Evaluamos el límite:

lim┬(x→1)⁡〖(1-x^2)/(sen(πx))〗=lim┬(x→1)⁡〖(1-〖(1)〗^2)/(sen(π∙1))〗=0/0

El resultado nos da una indeterminación

Lo podemos resolver utilizando la regla de L’Hopital que nos dice que debemos derivar el numerador y el denominador de la función de forma independiente, así tendríamos:

lim┬(x→1)⁡〖(1-x^2)/(sen(πx))〗=lim┬(x→1)⁡〖(-2x)/(cos(πx)∙π)〗

Evaluamos el límite y organizamos expresiones:

lim┬(x→1)⁡〖(-2x)/(cos(πx)∙π)〗=(-2(1))/(cos(π∙1)∙π)=(-2)/(π∙cosπ)

El coseno de π equivale a -1 por lo tanto nos quedaríamos:

(-2)/(π∙cosπ)=(-2)/(π∙-1)=(-2)/(-π)=2/π

El límite de la función lim┬(x→1)⁡〖(1-x^2)/(sen(πx))〗 cuando x tiende a 1 es igual a 2/π

lim┬(x→0)⁡〖(e^2x-1)/x〗

Evaluamos el límite:

lim┬(x→0)⁡〖(e^2x-1)/x〗=(e^(2(0))-1)/0=(e^0-1)/0=(1-1)/0=0/0

El resultado nos da una indeterminación de la forma 0/0

Lo podemos resolver utilizando la regla de L’Hopital que nos dice que debemos derivar el numerador y el denominador de la función de forma independiente, la derivada de un exponencial es el exponencial por derivada del exponente en este caso es 2 y la derivada de 1 es 0, entonces tendríamos:

lim┬(x→0)⁡〖(e^2x-1)/x〗=lim┬(x→0)⁡〖〖2e〗^2x/1〗

Evaluamos el límite y tendríamos:

lim┬(x→0)⁡〖〖2e〗^2x/1〗=〖2∙e〗^(2(0))/1=〖2∙e〗^0/1=(2(1))/1=2/1=2

Como es un límite de la forma 0/0, y el límite de la derivada del numerador sobre la derivada del denominador existen entonces se cumplen las tres condiciones, podemos decir entonces que el límite de esta función es igual al límite de la nueva función.

El límite de la función lim┬(x→0)⁡〖(e^2x-1)/x〗cuando x tiende a 0 es igual a 2

Halle paso a paso la tercera derivada de:

f(x)=3tan3x

Derivamos la función:

f^' (x)=3〖sec〗^2 3x∙3x

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