TRABAJO UNIDAD 2 CALCULO GENERAL

TRABAJO GRUPAL No 2

POR

XIMENA TOLEDO

JORGE LEONARDO RAMIREZ

IVAN DARIO ROJAS

CARLOS JULIO GUZMAN URUEÑA

CALCULO GENERAL

100410_373

PRESENTADO A

MIGUEL CHAVEZ

TUTOR

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA

CEAD IBAGUE

ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS TECNOLOGIA E INGENIERIA

NOVIEMBRE DE 2012

INTRODUCCION

La forma en que va a analizar la definición formal de límite, es por el uso de la matemática axiomática, la cual desarrolla todo el campo matemático a partir de axiomas, teoremas, postulados y definiciones. Fue precisamente Augustin-Louis Cauchy, quien dio los términos, para definir formalmente el concepto de límite, por lo cual se le llamó Definición ε – δ de límite.

Augustin-Louis Cauchy nació en París el 21 de agosto de 1789 y murió el 23 de mayo de 1857 en Sceaux, Francia.

Es pertinente recordar el concepto de vecindad tratado en la temática de convergencia de Sucesiones, ya que allí se analizó la cercanía de una vecindad según el tamaño del radio δ.

Sea la función f(x), definida en un intervalo abierto I, sea un valor c que esta

Contenido en I, pero la función f(x) no necesariamente puede estar definida en c.

A continuación vamos a resolver algunos ejercicios de límites, donde mostraremos las razones por las cuales una función es continua.

Resuelva los siguientes límites

Fase 1

Ejercicio 1

lim┬(x→2)⁡〖(x^2-x-2)/(x^2-5x+6)〗

Solución

Se evalúa el límite.

lim┬(x→2)⁡〖(x^2-x-2)/(x^2-5x+6)= (2^2-2-2)/(2^2-5x2+6)= 0/0〗

Como se puede observar al evaluar el límite se obtiene una indeterminación, para eliminar esta indeterminación se procede a factorizar.

Se factoriza tanto el numerador como el denominador de la forma ax+bx+c.

x^2-x-2= (x-2)(x+1) numerador factorizado

x^2-5x+6= (x-3)(x-2) denominador factorizado

Ahora se reescribe el límite y se elimina x-2.

lim┬(x→2)⁡〖(x^2-x-2)/(x^2-5x+6)= lim┬(x→2)⁡〖(x-2)(x+1)/(x-3)(x-2) 〗=lim┬(x→2)⁡〖(x+1)/(x-3)=〗 (2+1)/(2-3)=3/(-1)=-3〗

lim┬(x→2)⁡〖(x^2-x-2)/(x^2-5x+6)=-3〗

Ejercicio 2

lim┬(x→0)⁡〖(√(9+x)-3)/x〗

Solución

Se evalúa el límite.

lim┬(x→0)⁡〖(√(9+x)-3)/x〗= (√(9+0)-3)/0= (3-3)/0=0/0

Se observa que al evaluar el límite directamente se obtiene una indeterminación, para resolver la indeterminación se racionaliza la expresión.

lim┬(x→0)⁡〖(√(9+x)-3)/x〗= lim┬(x→0)⁡〖(√(9+x)-3)(√(9+x)+3)/x(√(9+x)+3) … 〗

〖…lim┬(x→0)〗⁡〖(9+x-9)/x(√(9+x)+3) 〗=lim┬(x→0)⁡〖x/(x(√(9+x)+3))〗= lim┬(x→0)⁡〖1/(√(9+x)+3)=1/(3+0+3)=1/6〗

lim┬(x→0)⁡〖(√(9+x)-3)/x=1/6〗

Ejercicio 3

lim┬(x→-2)⁡〖(3-√(x^2+5))/(3x+6)〗

Solución

Se evalúa el límite.

lim┬(x→-2)⁡〖(3-√(x^2+5))/(3x+6)=(3-√((-2)^2+5))/(3 x (-2)+6)=0/0〗

Al evaluar el limite se obtiene indeterminación, para eliminar la indeterminación se procede a racionalizar y factorizar la expresión.

lim┬(x→-2)⁡〖(3-√(x^2+5))/(3x+6)=(3-√(x^2+5) )/(3 x +6) .(3+√(x^2+5))/(3+√(x^2+5))=(3^2-(√(x^2+5))^2)/(3x+6)(3+√(x^2+5)) 〗

Como en el numerador observamos una diferencia de cuadrados se factoriza esta expresión, y en el numerador se puede factorizar el primer termino por factor común.

(3^2-(√(x^2+5))^2)/(3x+6)(3+√(x^2+5)) =(9-x^2-5)/(3x+6)(3+√(x^2+5)) =(4-x^2)/3(x+2)(3+√(x^2+5)) ….

…(2-x)(2+x)/3(x+2)(3+√(x^2+5)) =(2-x)/3(3+√(x^2+5)) =(2-(-2))/3(3+√((-2)^2+5)) =4/18=2/9

lim┬(x→-2)⁡〖(3-√(x^2+5))/(3x+6)〗=2/9

Ejercicio 4

lim┬(h→2b)⁡〖((b+h)^2-b^2)/h〗

Solución

Como se observa se debe desarrollar el trinomio cuadrado perfecto para resolver el limite.

lim┬(h→2b)⁡〖((b+h)^2-b^2)/h〗= (b^2+2bh+ h^2-b^2)/h

Simplificando

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