Calculo numérico. Algoritmo

Características

En matemáticas, eliminación de Gauss-Jordan, debe su nombre a Carl Friedrich Gauss y Wilhelm Jordan. Se le considera un algoritmo del álgebra lineal para determinar las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales, encontrar matrices e inversas.

Un sistema de ecuaciones se resuelve por el método de Gauss cuando se obtienen sus soluciones mediante la reducción del sistema dado a otro equivalente en el que cada ecuación tiene una incógnita menos que la anterior.

El método de Gauss transforma la matriz ampliada en una matriz triangular superior. El método de Gauss-Jordan continúa el proceso de transformación hasta obtener una matriz en forma escalonada reducida.

Si se trata de un sistema compatible determinado, el método termina al obtener una matriz diagonal; o una matriz triangular superior si es un sistema compatible indeterminado. Si, en cambio, es un sistema incompatible, se obtiene una matriz con al menos una fila formada por ceros (correspondientes a los coeficientes de las incógnitas) y un único elemento no cero (correspondiente al término independiente).

Algoritmo

• Ir a la columna no cero extrema izquierda
• Si la primera fila tiene un cero en esta columna, intercambiarlo con otra que no lo tenga.
• Luego, obtener ceros debajo de este elemento delantero, sumando múltiplos adecuados del renglón superior a los renglones debajo de él.
• Cubrir el renglón superior y repetir el proceso anterior con la submatriz restante. Repetir con el resto de los renglones (en este punto la matriz se encuentra en forma escalonada).
• Comenzando con el último renglón no cero, avanzar hacia arriba: para cada renglón obtener un 1 delantero e introducir ceros arriba de éste sumando múltiplos correspondientes a los renglones correspondientes.
• Un sistema de ecuaciones se resuelve por el método de Gauss cuando se obtienen sus soluciones mediante la reducción del sistema dado a otro equivalente en el que cada ecuación tiene una incógnita menos que la anterior. El método de Gauss transforma la matriz de coeficientes en una matriz triangular superior.
• El método de Gauss-Jordan continúa el proceso de transformación hasta obtener una matriz diagonal.

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