Cauchy

1. ¿Quién fue Cauchy (a que se dedicaba, cuál es su época, cual sus aportaciones a la ciencia)?

(París, 1789-Sceaux, Francia, 1857) Matemático francés. Era el mayor de los seis hijos de un abogado católico y realista, que hubo de retirarse a Arcueil cuando estalló la Revolución. Allí sobrevivieron de forma precaria, por lo que Cauchy creció desnutrido y débil.

Fue educado en casa por su padre y no ingresó en la escuela hasta los trece años, aunque pronto empezó a ganar premios académicos. A los dieciséis entró en la École Polytechnique parisina y a los dieciocho asistía a una escuela de ingeniería civil, donde se graduó tres años después.

Su primer trabajo fue como ingeniero militar para Napoleón, ayudando a construir las defensas en Cherburgo. A los veinticuatro años volvió a París y dos más tarde demostró una conjetura de Fermat que había superado a Euler y Gauss

Con veintisiete años ya era uno de los matemáticos de mayor prestigio y empezó a trabajar en las funciones de variable compleja, publicando las 300 páginas de esa investigación once años después. En esta época publicó sus trabajos sobre límites, continuidad y sobre la convergencia de las series infinitas. En 1830 se exilió en Turín, donde trabajó como profesor de física matemática hasta que regresó a París (1838). Pasó el resto de su vida enseñando en La Sorbona.

Publicó un total de 789 trabajos, entre los que se encuentran el concepto de límite, los criterios de convergencia las fórmulas y los teoremas de integración y las ecuaciones diferenciales de Cauchy-Riemann. Su extensa obra introdujo y consolidó el concepto fundamental de rigor matemático.

2. ¿Que es un infinitesimal (o una cantidad infinitamente pequeña)?

Un infinitesimal o infinitésimo se puede definir como una cantidad infinitamente pequeña que se aproxima a cero, tanto como nosotros deseamos, pero esta cantidad no puede ser cero. Se usa en el cálculo infinitesimal, se definen estrictamente como límites y se suelen considerar como números en la práctica.

Propiedades de los infinitésimos

1. La suma finita de infinitésimos es un infinitésimo.

2. El producto de dos infinitésimos es un infinitésimo.

3. El producto de un infinitésimo por una función acotada es un infinitésimo.

4. El producto de una constante por un infinitésimo es un infinitésimo.

5. La división de un infinitésimo por un escalar no nulo es un infinitésimo

El análisis no-estándar introducido en los años 1960 por Abraham Robinson es un enfoque axiomático y riguroso que permite introducir infinitesimales (números hiperreales no nulos cuyo valor absoluto es más pequeño que cualquier número real estándar). Si bien los resultados que pueden lograrse mediante el análisis no-estándar pueden ser alcanzados por la teoría estándar de los números reales, existen muchas demostraciones matemáticas y deducciones que son más simples y breves cuando se usan el análisis no-estándar. El inverso multiplicativo de un infinitesimal es un número real no estándar ilimitado

3. Calcula la derivada de f(x)= x3 de la forma que Cauchy lo hacía.

Probar

Sea

El producto de una constante por un infinitésimo es un infinitésimo podemos considerar

4. ¿Qué elementos utilizaba Cauchy para calcular una derivada?

Cuando la función y = f (x) se encuentra continuamente entre dos límites para el valor de x, y se asigna a la variable un valor entre estos dos límites, un incremento infinitamente pequeño dado a la variable produce un incremento infinitamente pequeño de la función así mismo. Por lo tanto, si luego colocamos Δx = i, entre los dos términos, la relación de las diferencias estará dada por:

De la cual resultara una cantidad infinitamente pequeña. Pero mientras que estos términos forma indefinida se acercan a cero al mismo tiempo la límite, de la relación puede converger hacia otro límite, ya sea positivo o negativo.

5. A qué se refería Cauchy con Coeficiente Diferencial

La cantidad b que permanece constante al solucionar el cociente que aparece en la parte superior, es lo que se llama la derivada de la función y = f (x). Indicamos esta derivada por la letra característica d, como se muestra en lo siguiente:

Así de fácil se obtiene el valor de la derivada función y´ o f´(x). según palabras de Cauchy

6. ¿Quién fue Euler?

Leonhard Euler, un matemático suizo. Euler nació en Basilea en 1707, donde estudió junto con otro gran científico de la época, Johann Bernoulli. Con tan solo 23 años, fue nombrado catedrático de física, y tres años después de matemáticas. Euler fue un luchador innato, ya que antes de cumplir los treinta, comenzó a perder la vista de manera progresiva, hasta que se quedó casi ciego al final de su vida. Esto no le impidió ser una de las mentes privilegiadas de la investigación de la época, escribiendo numerosas obras científicas.

Leonhard Euler realizó aportaciones muy diversas en campos como la aritmética, la física, la astronomía o la geografía. Gracias a su trabajo, hoy en días las cuestiones matemáticas y físicas se representan en términos aritméticos.

Su productividad fue enorme, hay quien considera que Euler escribía libros de altísima calidad científica de un tamaño de 800 páginas por año. Hoy dentro de su legado podemos encontrar una gran variedad de aportes a las matemáticas, tales como las fórmulas, los polinomios, las constantes o las líneas de Euler. También, cómo no, las integrales eulerianas, de gran impacto incluso hoy en día en la investigación. otro de los aspectos del trabajo de Euler: la introducción de la letra 'e' como base del logaritmo natural o neperiano.

Sus aportaciones científicas también fueron importantes en áreas como la teoría de grafos. En 1736, Euler fue capaz de resolver el conocido como "problema de los puentes de Königsberg". A la solución que aportó se le considera como el primer teorema de la teoría de grafos. Otros trabajos relacionados con la geometría incluyeron el teorema de los poliedros o el concepto conocido como característica Euler del espacio.

En 1748, Euler publicó en Lausana, Suiza, el primero de sus tres grandes tratados sobre cálculo: Introductio in Analysi Infinitorum. Esta obra, una de las más importantes en la historia del cálculo infinitesimal y de la geometría analítica, recoge resultados que había escrito en memorias anteriores,

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