Criterio De Cauchy

Serie matemática

En matemáticas, una serie es la suma de los términos de una sucesión. Se representa una serie con términos an como donde n es el índice final de la serie. Las series infinitas son aquellas donde i toma el valor de absolutamente todos los números naturales, es decir, .

Las series convergen o divergen. En cálculo, una serie diverge si no existe o si tiende a infinito; puede converger si para algún .

Contenido

1 Algunos tipos de series

2 Sumas conocidas

3 Criterios de convergencia

3.1 Condición del resto

3.2 Criterio de D'Alembert o Criterio del Cociente (Criterio de la razón)

3.3 Criterio de Cauchy (raíz enésima)

3.4 Criterio de Raabe

3.5 Criterio de la integral de Cauchy

3.6 Criterio de condensación de Cauchy

3.7 Criterio de Leibniz

4 Criterios de convergencia comparativos

4.1 Criterio de comparación directa ( de la mayorante o de Gauss )

4.2 Criterio de comparación por paso al límite del cociente

5 Tipos de convergencia

5.1 Convergencia absoluta

Algunos tipos de series

Una serie geométrica es una serie en la cual cada término se obtiene multiplicando el anterior por una constante, llamada razón. Ejemplo (con constante 1/2):

En general, una serie geométrica, de razón z, es convergente, sólo si |z| < 1, a:

La serie armónica es la serie

La serie armónica es divergente.

Una serie alternada es una serie donde los términos alternan el signo. Ejemplo:

Una serie telescópica es la suma , donde an = bn − bn+1. Se representa de la siguiente manera:

La convergencia de dicha serie y su suma se pueden calcular fácilmente, ya que:

Una serie hipergeométrica1 es una serie de la forma , que cumple que = .

Sumas conocidas

Fórmula de Faulhaber

Criterios de convergencia

Clasificar una serie es determinar si converge a un número real o si diverge ( u oscilante). Para esto existen distintos criterios que, aplicados a la serie en cuestión, mostrarán de que tipo es (convergente o divergente).

Condición del resto

Test de divergencia

Para que una serie sea divergente, una condición suficiente es que .

Esta afirmación es muy útil, ya que nos ahorra trabajo en los criterios cuando el límite es distinto de cero.

]Criterio de D'Alembert o Criterio del Cociente (Criterio de la razón)

Criterio de d'Alembert

Sea una serie , tal que ak > 0 ( serie de términos positivos).

Si existe

con , el Criterio de D'Alembert establece que:

si L < 1, la serie converge.

si L > 1, entonces la serie diverge.

si L = 1, no es posible decir algo sobre

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