Circuitos

ANALISIS NUMERICO

URIEL ALBEIRO TARAZONA 1650212

JAVIER ELIECER PRADA 1650224

DOCENTE

ING. ALVARO SALAMANCA

UNIVERSIDAD FRANCISCO DE PAULA SANTANDER

CIENCIAS AGRARIAS Y DEL MEDIO AMBIENTE

INGENIERIA AMBIENTAL

SAN JOSE DE CUCUTA

2014

METODO DE LA REGLA FALSA

En cálculo numérico, el método de regula falsi (regla del falso) o falsa posición es un método iterativo de resolución numérica de ecuaciones no lineales. El método combina el método de bisección y el método de la secante.

Las primeras dos iteraciones de regula falsi. La curva roja muestra la función f; las líneas azules, las secantes.

Como en el método de bisección, se parte de un intervalo inicial [a0,b0] con f(a0) y f(b0) de signos opuestos, lo que garantiza que en su interior hay al menos una raíz (véase Teorema de Bolzano). El algoritmo va obteniendo sucesivamente en cada paso un intervalo más pequeño [ak, bk] que sigue incluyendo una raíz de la función f.

A partir de un intervalo [ak, bk] se calcula un punto interior ck:

Dicho punto es la intersección de la recta que pasa por (a,f(ak)) y (b,f(bk)) con el eje de abscisas (igual a como se hace en el método de la secante).

Se evalúa entonces f(ck). Si es suficientemente pequeño, ck es la raíz buscada. Si no, el próximo intervalo [ak+1, bk+1] será:

• [ak, ck] si f(ak) y f(ck) tienen signos opuestos;

• [ck, bk] en caso contrario.

Se puede demostrar que bajo ciertas condiciones el método de la falsa posición tiene orden de convergencia lineal, por lo que suele converger más lentamente a la solución de la ecuación que el método de la secante, aunque a diferencia de en el método de la secante el método de la falsa posición siempre converge a unasolución de la ecuación.

El algoritmo tiene el inconveniente de que si la función es convexa o cóncava cerca de la solución, el extremo del intervalo más alejado de la solución queda fijo variando únicamente el más cercano, convergiendo muy lentamente.

Un ejemplo de este fenómeno se da en la función:

comenzando con [−1,1]. El extremo izquierdo del intervalo, −1, nunca cambia; el extremo derecho se aproxima a 0 linealmente.

La situación en que el método falla es fácil de detectar (el mismo extremo del intervalo se elige dos veces seguidas) y fácil de corregir eligiendo un ck diferente, como:

o

restándole peso a uno de los extremos del intervalo para obligar a que el próximo ck ocurra de ese lado de la función.

El factor 2 usado arriba, garantiza una convergencia superlineal (asintóticamente, el algoritmo ejecuta dos pasos normales por cada paso modificado). Hay otras formas que dan incluso mejores tasas de convergencia. El ajuste mencionado arriba, y otras modificaciones similares se conocen como Algoritmo Illinois. Ford1 resume y analiza las variantes superlineales del método regula falsi modificado. A juzgar por la bibliografía, estos métodos eran bien conocidos en los años 1970 pero han sido olvidados en los textos actuales.

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MÉTODOS ABIERTOS

En los métodos de bisección y falsa posición , la raíz se encuentra dentro deun intervalo, fijado por un límite inferior y un límite superior. Repetir laaplicación de estos métodos siempre resulta en estimaciones más cerca delvalor real de la raíz. Estos métodos se dice que son convergentes, ya que seacercan a la verdad a medida que la computación avanza. Fig. 1.0Por el contrario, los métodos abiertos descritos en este capítulo son basadosen fórmulas que requieren sólo un valor único de x o dos valores de partida queque no son necesarios.FIG 1.0

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METODO DE NEWTON Y RAPHSON

En análisis numérico, el método de Newton (conocido también como el método de Newton-Raphson o el método de Newton-Fourier) es un algoritmo eficiente para encontrar aproximaciones de los ceros o raíces de una función real. También puede ser usado para encontrar el máximo o mínimo de una función, encontrando los ceros de su primera derivada

El método de Newton fue descrito por Isaac Newton en De analysi per aequationes número terminorum infinitas (escrito en 1669, publicado en 1711 por William Jones) y en De metodis fluxionum et serierum infinitarum (escrito en 1671, traducido y publicado comoMétodo de las fluxiones en 1736 por John Colson). Sin embargo, su descripción difiere en forma sustancial de la descripción moderna presentada más arriba: Newton aplicaba el método solo a polinomios, y no consideraba las aproximaciones sucesivas xn, sino que calculaba una secuencia de polinomios para llegar a la aproximación de la raíz x. Finalmente, Newton ve el método como puramente algebraico y falla al no ver la conexión con el cálculo.

Isaac Newton probablemente derivó su método de forma similar aunque menos precisa del método de François Viète. La esencia del método de Viète puede encontrarse en el trabajo del matemático

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